3.7　极大极小模型

正是极大极小（m-m）模型族的成员中没有嵌套线性模型缘故，这类模型是高度非线性的。极大极小模型是由Granger和Hyung（2006）提出的。他们重点强调的是由式（3-25）定义的二元m-m模型。

y 1t =max（αy 1,t-1 +a, βy 2,t-1 +b）+ε 1t

y 2t =min（γy 1,t-1 +c, δy 2,t-1 +d）+ε 2t

（3-25）

其中，α、β、γ、δ和a、b、c、d都是参数，且 ，j=1,2。作者指出，可观测的等效参数化是可能被获得的，比如，通过用最小值代替最大值、改变符号和重新参数化。Granger和Hyung（2006）对α=β=γ=δ=1的情况特别感兴趣。然后，从式（3-25）可以推出式（3-26）。

y 1t =max（y 1,t-1 +a,y 2,t-1 +b）+ε 1t

y 2t =min（y 1,t-1 +c,y 2,t-1 +d）+ε 2t

（3-26）

由式（3-26）中的两个方程式定义的过程称为非线性集成过程。由于依赖于参数的取值大小，所以，非平稳的y 1t 和y 2t 可以一起紧密地波动，并且是非线性协整的。这个观点将在第11章讨论。除了其他方面，他们考察了y 1t 和y 2t 的性质，同时证明了当a-d<0时，过程

u t =y 1t -y 2t

（3-27）

是几何遍历的。因此，可把T视为由式（3-27）中y 1t 和y 2t 参数组成的协整向量。通过令a=b=c=d=0，可获得式（3-25）的另外一种特殊情形。Granger和Hyung（2006）已经证明，如果约束是有效的，那么，式（3-25）可能是平稳的，但是它也可能是一个爆炸性的过程。

m-m模型的对数似然函数效果并不好，这将对参数的估计结果产生影响，在第12.2.1节所讨论的基于导数的最优化方法将不再适用。它们突出了一种备选方法，即用指数近似法替代极大极小等式。在这种情形下，标准的最优化算法可以继续应用。显而易见，通过不借助导数的算法来估计参数的可能性还没有被考虑到，比如模拟退火的算法，可参阅第12.1.3节的有关讨论。

Granger和Hyung（2006）将m-m模型应用于1947年1月～1997年9月美国的月利率、6个月的商业票据利率和3个月的票据贴现率利率。他们为这些序列拟合了一个部分线性集成m-m模型。“部分线性化”意味着y 2t 的等式，或者实际上Δy 2t ，是线性的。估计的模型满足u t 的遍历性条件a-d<0，但是他们指出a-d的估计仅仅是稍微小于0。按照估计的模型，他们总结出对利率差u t 的任何冲击的影响都会缓慢地消失。 Ia0Fe8QoEaYpM7xrx8oJQQwadY4gD7qSb4bkmDfd0hAWW665g44L0hl30yBLWSPm