3.5　多项式模型

Wiener（1958）考虑到两个可观测过程：{x t }（输入）和{y t }（输出）的非线性因果关系，并且通过式（3-21）做了近似的估计（可参阅Priestley，1981，p.869）。

式（3-21）的右边叫作Volterra序列扩展。如果滞后长度和求和的项数都是有限的，它又被称为Kolmogorov-Gabor多项式，例如，可参阅Ivakhnenko（1971）、Eykhoff（1974）或者Nelles（2001，pp.221-24）的有关论述。第1.8节提到的一个不可观测的独立同分布随机变量序列{x t }={ε t }，就是式（3-21）的一个特殊的例子。当最大的滞后期是有限的，在特定条件下，例如，当ε t 是正态的且是严平稳时，则y t 也是严平稳的，可参阅Brillinger（1970，p.38）的文献。当除了式（3-21）右边第一项之外，所有求和项的系数均等于0时，则这个模型是无限阶线性移动平均模型。如果滞后多项式 是一个合理的多项式而且移动平均模型可逆，则y t 的简练表达式以ARMA模型的形式存在。但是，正如Priestley（1981）指出的，当式（3-21）中包含比第一项更高阶的求和项时，不存在对应的形式。

通过增加随机误差项，可用Kolmogorov-Gabor多项式描述在输出y t 和M种输入x it ，i=1,…,M之间的关系。然后，这个k的多项式模型变为

在温和条件下，Kolmogorov-Gabor多项式是万能逼近器，当多项式的阶数k足够高时，它可任意地准确近似任何函数f（x 1 ,…,x M ）。于是，多项式可用形如

y t =f（x 1t , …, x Mt ）+ε t

形式近似未知的函数f（x t1 ,…,x tM ）。这种近似诱发了式（3-22）如何应用，且式（3-22）所示的这个模型已经在工程学上进行了运用。动态的双变量模型应该有x it =x t-i+1 ，i=1,…,k，使得k≤M。例如，当M=1时，则式（3-22）的右边包含了x t 的第k阶多项式。另外，如果x it =y t-i ,i=1,…,M，则对于k>1，式（3-22）的估计形式是爆炸式的，且不能用于预测。式（3-22）在经济时间序列的运用中，最突出的例子可能是在第2.4节提到的超越对数生产函数。在时间序列分析中，另一个万能逼近器是神经网络，它比Kolmogorov-Gabor多项式更受偏好。接下来将对这一非线性模型族展开讨论。 8faVrlUN5Vyq2y0eoK/5IzYFigPJJg3bT2kYCpw9P1DIgrq3qsIDRQJMO5rVFo3G