3.1　概述

正如第2章所讨论的，理论经济模型会引出许多非线性模型。例如，可以进行参数估计的非均衡模型是经济理论命题的直接结果。在其他一些情形下，可借助截面数据或面板数据对理论的含义进行最佳分析。诸如失业回滞等理论会引出一些相对简单的非线性模型。不过，还有许多与特定经济理论并无直接联系的，源自统计学、时间序列分析或计量经济学的非线性模型。在许多情形下，这些模型应用的初始领域是其他学科，并不是经济学。在本章，将对此类模型进行介绍，并简要指出它们的一些经济应用。在讨论细节之前，做点背景介绍和一些一般性评论。

存在几类线性过程可作为非线性模型的起点。可把第1.8节所讨论的Volterra展开视为移动平均模型的非线性化推广。实践中，相对于移动平均模型，线性自回归模型应用更广泛，这是由于后者的递归结构使得更容易对模型进行估计和预测。此外，移动平均模型表面上更简单的数学结构可能具有迷惑性。Breidt、Davis、Hsu和Rosenblatt（2005）对线性MA（1）模型进行了十分有效的说明。也有对移动平均模型简洁的非线性扩展形式，例如，可参阅De Gooijer（1998）、Ling和Tong（2005）以及Ling、Tong和Li（2007）对门限移动平均模型的讨论。然而，当公式化的非线性扩展在实践中有用时，以线性自回归模型作为分析的起点似乎更合适。本节将对此扩展进行简要讨论，在后面部分将对此以及相关的模型进行更为详细的介绍。

线性自回归模型确实是一种非常重要的模型。在很多情况下，可以把它作为一种充分逼近，并且它的统计理论相当完整。但是在有些情况下，它并不是十分有效的，从而人们必须寻找其他可替代的方法。实际上，在一阶情况下，非线性的所有重要特征都得以体现，因此，本节只关注如下AR（1）模型的推广。

y t =Φy t-1 +ε t

（3-1）

其中，Φ是自回归系数，且{ε t }～iid（0,σ 2 ）。如果|Φ|<1，它的Wold表述是

显然，对式（3-1）的推广是用非线性函数g（y t-1 ）取代线性项Φy t-1 ，从而

y t =g（y t-1 ）+ε t

（3-2）

函数g可能具有已知的函数形式，但是可能包含需要估计的未知参数向量 θ 。或者，假设函数形式是未知的，在此情况下，必须进行非参数化估计。接下来，考虑一般模型

y t =g（ z t , θ ）+ε t

其中， z t 可能包含y t-1 ,…, y t-p 的组合和外生变量x 1t ,…,x kt 。

式（3-1）的另一种推广是考虑如下模型

y t =Φy t-1 +h（y t-1 ）ε t

（3-3）

其中，h同样可能未知，或者为参数的已知形式函数。可以从多个方面对这一模型加以改进和拓展，以得到将在第8章进行讨论的自回归条件异方差性模型。用g（y t-1 ）替换式（3-3）中的Φy t-1 ，可得到在条件均值和条件方差上均为非线性的模型，不过，对该模型进行详细说明和估计将非常困难。

用随机过程{θ t }替代Φ，可得到式（3-1）一个不同的扩展形式，其中{θ t }本身可以是一个自回归过程。可以把此看作状态空间过程的例子，第3.10节将对此做简单的讨论，第9章还会做更进一步的详细介绍。

古典非线性参数时间序列模型包括门限自回归（TAR）模型（Tong和Lim，1980；Tong，1990）、指数自回归模型（Ozaki，1982，1985）和双线性模型（Granger和Andersen，1978；Subba Rao，1980；Subba Rao和Gabr，1981，1984）。公平地说，在这三种模型中，门限模型是实践中最有用的。在它最简单的形式里，用非线性机制替代式（3-1）的线性模型，使得对于每一t，y t 是由两个线性模型的其中之一生成的。该模型由门限变量y t-1 的值决定。更为规范的表达式为

y t =Φ 1 y t-1 I（y t-1 ≤c）+Φ 2 y t-1 I（y t-1 >c）+ε t

其中，I（A）是一个指示函数：当事件A发生时，I（A）=1；否则，I（A）=0，c是门限参数。存在大量的扩展情形，不一定必须限制在平稳的情况下，例如，可参阅Tong（1990）、Fan和Yao（2003）以及第3.2节的有关讨论。至于门限模型到非线性误差修正模型的最新应用，可参阅Hansen和Seo（2002）、Hansen（2003）、Bes和Rahhbek（2004）、Seo（2006）以及第11.5节。在Chan（1993）及Li和Ling（2010）中可找到平稳情况下的渐近理论。门限参数的极大似然估计量具有非标准的渐近分布。

由于缺乏平滑的转换机制，TAR模型一直备受质疑。作为对这一批评的回应，指数自回归模型应运而生，其表达式为

对于较大的|y t-1 |，本质上，这一过程的变化与具有参数Φ的AR过程一致，而对于较小的|y t-1 |，时变AR系数大概是Φ+ψ。|y t-1 |的中间值导出AR参数的中间值。显然，这个模型包含在平稳转换回归模型（STR）和平稳转换自回归模型（STAR）中，这也是本书强调的重点，且与指数模型的形式相比，它允许其他的转换机制，在第3.4节有相关定义。

双线性模型

y t =Φy t-1 +ψy t-1 ε t-1 +ε t

允许存在残差项{ε t }和{y t }过程的乘积项。要为此建立全面的估计理论实属不易，这可能是它用途有限的原因之一，至少在经济学领域甚少使用。另外一个原因在于，双线性模型似乎并不是一个描述经济时间序列动态行为的恰当模型。一份早期的参考来源于Subba Rao和Gabr（1984）的文献。Stensholt和Tjøstheim（1987）探究了多变量情况下的平稳性条件。一些额外的性质可以在第3.9节找到。

Tjøstheim（1986a）包含了如下参数非线性AR过程的估计理论的各个方面

y t =g（y t-1 , θ ）+ε t

但是，目前也有很多更新的贡献，读者可参阅Fan和Yao（2003，第4章）以及Ling和McAleer（2010）的有关成果。

不仅在估计理论，而且在非线性单位根理论和非线性协整理论中，一个重要的问题在于决定，{y t }是平稳序列还是特定类型的非平稳序列。可以利用{y t }是马尔可夫链的事实，使用遍历性以及针对这种过程所提出的常返和空常返的准则。一个主要的参考文献是Meyn和Tweedie（1993），一个主要的方法是用Foster-Lyapunov准则，第1.3节对此进行了简要介绍。其本质是研究当|y|趋于无穷时，g（y, θ ）的特征，并且找出是否存在一个满足式（1-7）的检验函数V。例如，考虑指数自回归模型，令V（y）=|y|。当|y|→∞，|Φ|<1时，由于Φ+ψe -γy 2 →Φ，因此，这就保证了存在一个平稳的{y t }。总的来说，并不容易找到平稳性条件，特别是对非线性更高阶的自回归AR的情形。甚至对于二阶门限自回归AR过程来说，一个完整的特征描述似乎是未知的。Foster-Lyapunov准则也可以用于第8章讲述的ARCH/GARCH过程。该领域的最新出版物包括Carrasco和Chen（2002）、Francq和Zakoian（2006）、Liebscher（2005）、Ling和McAleer（2002）以及Meitz和Saikkonen（2008）。对于所有类型的马尔可夫模型，很多努力都花费在几何遍历性的证明上，因此，这意味着是结合，反过来也可以用于证明中心极限定理。Ling等（2007）提出了一个没有建立在Foster-Lyapunov准则上的替代方法。

Karlsen和Tjøstheim（2001）以及Karlsen、Myklebust和Tjøstheim（2007）依据常返马尔可夫链，对非线性单位根过程和非线性协整类型模型进行了分析，可参阅第11.7节。然后，找出使函数g（y, θ ）空常返的条件将变得很有趣。这项工作也刚刚开始，可参阅Myklebust、Karlsen和Tjøstheim（2010）的相关研究，其中大多数工作是针对线性向量情形的。作为难度比较大的例子，众所周知，如果sup |y|≤c g（y, θ ）<∞，则最新的带有随机游走行为的似门限过程

y t =g（y t-1 , θ ）I（|y t-1 |<c）+y t-1 I（|y t-1 |>c）+ε t

是零常返的。但是，据我们所知，指数AR过程

是否零常返是未知的。在几何遍历性和零常返之间的中间情形也同样受到关注［参阅Yao和Attali（2000）的相关研究］。

紧随这些介绍，将对提到过的非线性模型和一些其他的模型进行详细讨论。以转换自回归模型为开端，其单变量的特殊情形是TAR模型。 ykLK8o1kkULR3PEM4sX3qPE2Pw17t3dbul4M6Jjs6ntlaJ3KunIOSZr6uQ9uYx8L