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生产意味着把诸如劳动、资本和知识等不同的投入转换成产出。在描述生产过程的经济学时，生产函数是一个很关键的概念。为简单起见，假定单一产出，它表示对于任意投入组合的最大可能产出。规范的数学表达式为
y=f（x 1 ,…,x p ）
（2-8）
其中，y表示产出，x i （i=1，…，p）表示第i种生产要素的投入，共有p种生产要素投入。假设这些投入产出均是非负的。有时还需要加入另一假设：如果所有投入等于0，那么，产出也等于0。然而，对于众多生产函数的函数形式而言，需要假定投入为正。只要把等式左边设置为常数y 0 ，那么，通过式（2-8）就能够给出获得产出y 0 的生产要素的投入x 1 ,…,x p 的所有组合。
正如在前面章节所看到的，经济理论经常走在应用之前，并且一些理论并不是真实地为了验证。在生产理论中，已开始通过实际观察值构建生产函数。在这个主题上，有丰富的文献资料。作为入门，可参阅Heahfield和Wibe（1987）的文献。Berndt（1991，第9章）对计量经济学问题进行了讨论。首个得到广泛应用的生产函数是柯布-道格拉斯生产函数（Cobb和Douglas，1928）。在观察中有它的起源，随着时间推移，美国GNP中劳动力份额大致相同，且独立于劳动和资本的相对价格。假定产出的规模收益不变，也就是说，对任意λ>0，有
λy=f（λx 1 ,…,λx p ）
按照式（2-8）的抽象形式，Cobb和Douglas定义了式（2-9）所示的生产函数
其中，x 1 代表劳动力的投入，x 2 是资本的投入。约束条件α+β=1规定产出的规模收益不变。柯布-道格拉斯生产函数是非线性的，但是取对数后就是线性的。通过使用美国年度时间序列，对式（2-9）的对数线性形式进行最小二乘估计，结果支持规模收益不变的假设。可把该函数扩展到两种以上投入的情形。第16.2节将对柯布-道格拉斯函数的半参数拓展形式展开讨论。
根据式（2-9），可以得出要素x 1 的平均产出y/x 1 是自身价格的固定比例。由如下推导就可以看到这个结论。利润π是产品价值与投入要素价值之差。设产品价格等于1，并且把两种投入要素的价格分别表示为p 1 和p 2 ，则利润π可以表述为
对于x 1 ，利润最大化就要求满足下式
所以，αy/x 1 =p 1 。对于x 2 ，类似的结论同样适用。Arrow、Chenery、Minhas和Solow（1961）提出了一个更为一般的关系，表达式为
y/x 1 =（p 1 /α） λ
（2-10）
并且运用全球数据对假设λ=1进行了检验，结论是拒绝λ=1的假设，因此，他们给出了常替代弹性（CES）函数，在该函数中，资本和劳动之间的替代弹性是常数，且满足式（2-10）。柯布-道格拉斯生产函数意味着这一弹性等于单位1。可把CES函数定义为
在对数形式下，CES生产函数也是非线性的。然而，应注意到式（2-11）中的参数γ和θ并没有直接估计。在增加随机误差项的基础上，对源自于式（2-11）的对数线性要素需求方程进行替代估计。关于这方面的综述可参阅Berndt（1991，第9章）的相关部分。
到目前为止，最受欢迎的生产函数可能是由Christensen、Jorgensen和Lau（1973）提出的超越对数或超越对数函数。一个两种投入要素的超越对数具有如下形式
lny=lnγ+α 1 lnx 1 +α 2 lnx 2 +α 11 （lnx 1 ） 2 +α 22 （lnx 2 ） 2 +α 12 （lnx 1 ）（lnx 2 ）
（2-12）
等式右边是一个二阶柯尔莫哥洛夫（Kolmogorov-Gabor）多项式，这将在第3.5节进行讨论，因此，对于未知形式的一般生产函数，超越对数模型仅仅是对数的二阶近似。柯布-道格拉斯函数是式（2-12）的一个特殊情况。更一般地，后者关于参数也是线性的，相对于在较短时间内也需要对参数进行估计的模型而言，这是一个优点。然而，即使在此处，式（2-12）的参数也并不是直接估计的。感兴趣的参数包含在一组成本最小化的投入需求方程中。它们源于式（2-12）并且形成了一个伴随着交叉等式参数限制的线性系统，可参阅Berndt（1991，第9章）的论著。
正如已经提到的，已开始借助实际观测值建立生产函数的函数形式。此外，最普遍的函数形式，如超越对数函数，并不是来源于任何经济理论，但它却是一种灵活的函数形式。Sperlich等（2002）通过将生产函数设定为非参数附加的函数形式，将讨论更深入了一步。第16.2节将对此进行讨论。然而，在估计感兴趣的参数时，在决定来源于CES和超越对数模型的线性方程中，经济理论将起到重要作用。因此，尽管是非线性的函数形式，在讨论有关生产的计量经济学中，线性模型起到了主要作用。