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1.11 混沌

在许多物理科学中,“非线性动力学”与诸如混沌过程的某些确定序列是等同的。特定简单的确定性映射可以生成与随机序列某些性质相似的序列。例如,用著名的logistic映射

y t+1 =αy t (1-y t

(1-13)

当3.54<α≤4时,一些孤立值除外,在0<y 0 <1条件下,式(1-13)生成了一个有界序列0<y t <1,其中,y t 的自相关的ρ(h)=corr(y t , y t-h )所度量的自相关程度都很弱。当α>4时,实现值将远离区间(0,1),并且普遍分化。当α=4,样本量T=6000(所以, 041-01 )时,使用这个映射进行模拟的结果如表1-1所示。

表1-1 具有6000观测值时间序列的自相关和其他统计

041-02

注:该序列由logistic映射式(1-13)生成,星号(*)表明数值在5%的显著性水平上是显著的。

从表1-1可以看出,对于序列平方来说,只有滞后一期的自相关系数显著不等于0。因此,对于由这个确定性映射所生成的序列{y t }而言,其自相关程度与不存在自相关的白噪声过程{y t }是一致的,也就是说,{y t }不存在自相关的序列。然而,序列平方 041-03 是不相关的,所以,{y t }不能作为独立变量的序列。

可以看出,如果根据映射式(1-13)生成序列{y t },那么,该序列是完全可预测的,不过,如果用线性模型去拟合数据,它看起来将会像均值为0.5的白噪声序列,所以,是不可预测的,除了常数均值之外。显而易见,隐含的高度可预测性的可能性是令人高兴的。另外一个特征是,序列快速偏离过程的初始值。假如两个序列由同一个映射生成,一个序列以y 0 为初始值,另一序列以y 0 +δ为初始值。这两个序列快速偏离是这些过程的性质。在关于偏离速率的测量方面,Lyapunov指数最为出名,即y t =x t e λt ,其中,{y t }和{x t }是两个序列,λ是指数。这可以与由线性AR(1)模型

y t =Φy t-1 t

生成的两个过程做比较,这两个过程具有同样的参数Φ,同样的输入值{ε t },只是初始值不一样。如果Φ<1,两个过程将会收敛,并且收敛于同一均值。必须加以注意,并不是所有随机非线性自回归模型都有这个性质。正如许多混沌过程是由有界映射生成的,就像式(1-13)中显示的那样,当0≤y t ≤1时,两个可选择序列的偏离程度是有限的。

似乎没有可用的关于混沌的全面检验。文献中的检验基本上是基于Lyapunov指数的估计。

如果一个过程是混沌的,并且是由一个简单映射生成的,那么,可运用如第3.6节讨论到的神经网络类的程序对它进行估计,从而也达到了依据模型进行预测的目的。然而,看起来几乎没有经济时间序列能由混沌模型很好地表达。在一时的兴趣之后,现在已经很少考虑混沌模型了,尽管它在物理科学中保留了主要的相关性。

这些过程的一个用途是使用很复杂的形式,对独立序列进行充分逼近,这经常运用于蒙特卡罗和仿真研究中。然而,这些序列仅仅是“伪独立的”,并且足够长的序列后将开始重复自身。

关于混沌理论,可适当参考Medio和Gallo(1992)、Vialar(2005)以及Tsonis(1992)的论述,这些仅仅是有助于读者的众多文献中的很少一部分。 Uk/l3zkyZuhLQL9RMFub29/eDB7GXzqOiHVY4EuyaZbzU3mAlAkdIHyGA/nyvSgd

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