1.11　混沌

在许多物理科学中，“非线性动力学”与诸如混沌过程的某些确定序列是等同的。特定简单的确定性映射可以生成与随机序列某些性质相似的序列。例如，用著名的logistic映射

y t+1 =αy t （1-y t ）

（1-13）

当3.54<α≤4时，一些孤立值除外，在0<y 0 <1条件下，式（1-13）生成了一个有界序列0<y t <1，其中，y t 的自相关的ρ（h）=corr（y t , y t-h ）所度量的自相关程度都很弱。当α>4时，实现值将远离区间（0,1），并且普遍分化。当α=4，样本量T=6000（所以， ）时，使用这个映射进行模拟的结果如表1-1所示。

注：该序列由logistic映射式（1-13）生成，星号（*）表明数值在5%的显著性水平上是显著的。

从表1-1可以看出，对于序列平方来说，只有滞后一期的自相关系数显著不等于0。因此，对于由这个确定性映射所生成的序列{y t }而言，其自相关程度与不存在自相关的白噪声过程{y t }是一致的，也就是说，{y t }不存在自相关的序列。然而，序列平方 是不相关的，所以，{y t }不能作为独立变量的序列。

可以看出，如果根据映射式（1-13）生成序列{y t }，那么，该序列是完全可预测的，不过，如果用线性模型去拟合数据，它看起来将会像均值为0.5的白噪声序列，所以，是不可预测的，除了常数均值之外。显而易见，隐含的高度可预测性的可能性是令人高兴的。另外一个特征是，序列快速偏离过程的初始值。假如两个序列由同一个映射生成，一个序列以y 0 为初始值，另一序列以y 0 +δ为初始值。这两个序列快速偏离是这些过程的性质。在关于偏离速率的测量方面，Lyapunov指数最为出名，即y t =x t e λt ，其中，{y t }和{x t }是两个序列，λ是指数。这可以与由线性AR（1）模型

y t =Φy t-1 +ε t

生成的两个过程做比较，这两个过程具有同样的参数Φ，同样的输入值{ε t }，只是初始值不一样。如果Φ<1，两个过程将会收敛，并且收敛于同一均值。必须加以注意，并不是所有随机非线性自回归模型都有这个性质。正如许多混沌过程是由有界映射生成的，就像式（1-13）中显示的那样，当0≤y t ≤1时，两个可选择序列的偏离程度是有限的。

似乎没有可用的关于混沌的全面检验。文献中的检验基本上是基于Lyapunov指数的估计。

如果一个过程是混沌的，并且是由一个简单映射生成的，那么，可运用如第3.6节讨论到的神经网络类的程序对它进行估计，从而也达到了依据模型进行预测的目的。然而，看起来几乎没有经济时间序列能由混沌模型很好地表达。在一时的兴趣之后，现在已经很少考虑混沌模型了，尽管它在物理科学中保留了主要的相关性。

这些过程的一个用途是使用很复杂的形式，对独立序列进行充分逼近，这经常运用于蒙特卡罗和仿真研究中。然而，这些序列仅仅是“伪独立的”，并且足够长的序列后将开始重复自身。

关于混沌理论，可适当参考Medio和Gallo（1992）、Vialar（2005）以及Tsonis（1992）的论述，这些仅仅是有助于读者的众多文献中的很少一部分。 amS61KYt99aJdMXtDrDJfbQOq7v8tbD3XFdpDFzorVmzssUX9ihiwN2Wj6sdmhFe