1.3　平稳性和非平稳性

对于某一随机过程{y t }，如果对于任一时刻t和时间点的任一集合（t 1 ,t 2 ,…,t k ），（y t 1 ,y t 2 ,…,y t k ）的联合分布与（y t 1 +t ,y t 2 +t ,…,y t k +t ）相同，那么，这个过程是严平稳的。严平稳过程要求，如果存在分布的一阶矩和二阶矩，则它们不随时间的变化而改变。在线性情况下，二阶矩，如方差和协方差，将发挥重要作用。如果方差、协方差和均值均不随时间变化而发生改变，那么，这个过程是弱平稳或者二阶平稳。对于高斯时间序列，通过确定这些统计的数量特征就可以完全解释其概率结构，且严平稳和弱平稳是一致的。因此，对于线性高斯模型而言，非正式的诊断平稳性是通过几个时间窗口的矩估计以及相关性来判断的。不过，这样的方法对非线性模型是完全不充分的。

由于在非线性模型中，之前常见的并具有良好效果的方法不再适用，因此，为了让读者阅读本书时更加清晰，有必要提出和采用新的方法。一个显而易见的例子是相关性的常用测度，即（皮尔逊）相关系数，这将在附注中加以介绍。有时即使秩相关令人满意，但并不存在单一的明确替代方法。第4.4节和第7.7节将对该问题进行深入系统的讨论。

此外，对于非线性模型的条件统计量，如条件分布，条件均值和方差尤为重要。对于本书的许多模型而言，都假定是严平稳的，并且至少存在二阶矩。对于给定的时间序列无法证明它的平稳性或矩的存在性，除非给出线性或非线性模型。在许多情况下，有检验平稳性与矩的存在性的准则。一般地，这些条件可通过递归的马尔可夫模型来刻画。为了方便起见，只考虑由式（1-3）生成的过程{y t ,t≥1}。

y t =g（y t-1 , θ）+ε t , y 0 =y（0）

（1-3）

其中，g为已知函数，θ为未知参数，{ε t }～iid（0,σ 2 ），ε t 独立于{y s ,s<t}。只要存在初始分布y 0 ，并且使得以该分布起始的系统是平稳的，那么，根据平稳性准则就会给出矩的存在性结果。如果对于以另一种分布起始的系统而言，这种初始分布的影响最终将会消失，那么，这个过程是渐近平稳的或者是稳定的。

一个简单的例子就是线性高斯自回归过程

y t =Φy t-1 +ε t , y 0 =y（0）

（1-4）

其中，如果|Φ|<1，并且y（0）是服从均值为0、方差为σ 2 （1-Φ 2 ） -1 的正态分布，那么，{y t }是严平稳的（所有矩均存在）。如果它以另一分布开始，例如，y（0）可能是固定值，则有

由于|Φ|<1，因此，当t增大时，初始条件的效用将会消失，并且{y t }将渐近于平稳过程

其中，{ε t ,-∞<t<∞}～iidN（0,σ 2 ），也就是说，ε t 是服从均值为0、方差为σ 2 的独立正态分布。对于非线性系统而言，相应的条件更难获得，当分析具体模型时，将对合适的假设进行讨论。简单地说，ε t 是否为连续分布，式（1-3）中的函数g（y,θ）是否在一个紧集上对y有界，以及是否存在一个满足Foster-Lyapunovpiao漂移准则的非负的检验函数V，也就是说，是否存在

E{V（y t ）|y t-1 =y}=E{V（g（y,θ）+ε t ）}<V（y）

（1-7）

对于|y|的较大值，存在满足序列{y t }是（严）平稳的初始分布。举例来讲，V（y）=|y| 2 ，对于|y|的较大值，充分条件为|g（y,θ）|<|y|，且如果 ，则可以确定存在二阶矩。这意味着，如果非线性动态系统能够与平稳的线性自回归过程相联系，那么，将会存在稳定解。实际上，这种方法往往会产生更多的所谓几何遍历性，这在证明中心极限定理时非常重要。为了了解或获得更多这方面的细节和类似的结论，可参阅Meyn和Tweedie（1993）的论著。

上述马尔可夫链方法的替代方式是把式（1-3）作为随机递归方程，且运用收缩定理，以此找到平稳解存在的条件。这种解决问题的方法在第8章将要提到的非线性条件异方差模型中尤其有用。这方面可以参考Straumann（2005）、Straumann和Mikosch（2006）以及Aue、Berkes和Horváth（2006）所做的工作。

由于众多经济时间序列是非平稳的，因此，为了有利于应用平稳模型的理论，很有必要把非平稳的时间序列转换为平稳性的序列。在线性单变量情况下，这样的转换主要是通过对序列进行差分实现的。这种通过差分过程实现平稳的序列与I（1）和I（2）（差分两次）过程有紧密的联系，或者说与单位根过程［比较第11.2节以及Hamilton（1994b）的第17章和第18章］密切相关。在多元线性情况下，采用协整理论可以解决组合平稳过程的线性变换［比较第11.3节以及Hamilton（1994b）的第19章］。

在非线性非平稳的情况下，这些都将变得更加困难。就如在线性情况下一样，必须对施加在所容许的非平稳类型的限制条件加以介绍。目前这里有两种可能性：第一，使用依据布朗运动过程的分解原理；第二，运用马尔可夫链的递归理论。第11章将对这两种方法进行重点介绍。这是一个全新的研究领域，并且有着巨大的发展潜力，至少对于理论发展是这样的。

通常情况下，很难区分类似于式（1-3）的参数非线性模型和线性时变模型。因此，在很大程度上，选择使用什么样的模型取决于建立模型的目的。一个简单的例子是非线性自回归模型

y t =Φg（y t-1 ）y t-1 +ε t

这个模型可能容易与下面的模型混淆

y t =Φ t y t-1 +ε t

其中，{Φ t }是某个随机过程，其结构是确定的。在一定程度上，每一个模型均能对数据进行模拟，不过，在短期预测方面，会存在某个模型均优于其他模型。时变参数模型将在第9章进行讨论。对于这种模型的平稳性条件也可在第9章学到，不过，对任意给定数据集，这一理论的有用程度并不明确。

数据生成过程将决定条件预测分布 ，其分布形式为 ，它是基于信息集 和时变参数Φ t 形成的，其中，信息集 是由{y s ，s≤t-1}生成的。假定一经济体从有限时间前开始，基本上把起始点设在t=0时刻处。如果{Φ t }是确定的，并且Φ t →Φ，Φ<1，且为常数，那么，随着t变大，可把最终预测分布（均值和方差等）看作“均衡”值。如果没有收敛，那么就不存在均衡。 yoTo6prhumICUpBkN242eAxeO3gW2OrPFbi3UtdnQKvndGjiMKu5QWlttzZ7cGZw