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流体运动学研究液体的运动规律。流体动力学研究作用于流体上的力与流体运动之间的关系。流体的连续性方程、伯努利方程、动量方程是描述流动液体力学规律的 3 个基本方程。前两个方程式反映压力、流速与流量之间的关系；动量方程揭示了流动液体与固体壁面间的相互作用力问题。这些内容不仅构成了流体运动学和液体动力学的基础，而且还是液压技术中分析问题和设计计算的理论依据。
液体运动时，才体现黏性。因此，在研究流动液体时，必须考虑黏性的影响。但是，液体中影响黏性的因素非常多，并且非常复杂。为了分析和计算问题的方便，首先假设液体没有黏性，然后考虑黏性的影响，对分析结果进行修正。这是工程中面对复杂问题通常的做法。
理想液体：在研究液体时，假设的是既没有黏性又不可压缩的液体。
实际液体：在研究液体时，假设的是既有黏性又可以被压缩的液体。
定常流动：当液体处在流动状态时，如果液体中任一点的压力、速度和密度都不随时间而变化，则称为定常流动，也称恒定流动或非时变流动。
非定常流动：当液体处在流动状态时，若液体中任一点处的压力、速度和密度之一有一个随时间而改变时，则称为非定常流动，也称非恒定流动或时变流动。
如图 2.7（a）所示为定常流动，如图 2.7（ b）所示为非定常流动。非定常流动的情况较复杂，本书主要讨论定常流动时的基本方程。
图 2.7 定常流动和非定常流动
液体在管道中流动时，其垂直于流动方向的截面为通流截面（或过流截面）。单位时间内流过某一通流截面的液体体积，称为通流截面上的流量。流量用q表示，流量的单位为m 3 / s或L/ min。由于流动液体黏性的作用，在通流截面上各点的流速u一般是不相同的。因此，在计算流过整个通流截面A的流量时，可在通流截面A上取一微小面元dA（见图 2.8（a）），并认为在该面元各点的速度相等，则流过该微小面元的流量为
流过整个通流截面A的流量为
对实际液体的流动，速度u的分布规律很复杂（见图 2.8（b）），故按式（2.19）计算流量是困难的。因此，提出一个平均流速的概念，即假设通流截面上各点的流速均匀分布，液体以此均布流速v流过通流截面的流量等于以实际流速流过的流量，即
由此可得通流截面上的平均流速为
图 2.8 流量和平均流速
流量连续性方程是质量守恒定律在流体力学中的一种表达形式。如图 2.9 所示为一任意管道，液体在管内作恒定流动，任取 1，2 两个通流截面，设其面积分别为A 1 和A 2 ，两个截面中液体的平均流速和密度分别为v 1 ，ρ 1 ;v 2 ，ρ 2 。根据质量守恒定律，在单位时间内流过两个截面的液体质量相等，即
图 2.9 流量连续性方程
因是理想液体，不考虑液体的压缩性，有ρ 1 = ρ 2 ，故
又因两通流截面是任意取的，故有
式（2.24）为流量连续性方程。它说明定常流动中流过各截面的理想液体的流量是不变的。因此，流速与通流截面的面积成反比。
能量守恒是自然界的客观规律。伯努利方程描述了流动液体时遵循的能量守恒规律。掌握这一方程的物理意义是十分重要的。
理想液体没有黏性，不可压缩，故在管内作稳定流动时没有能量损失。根据能量守恒定律，同一管道每一截面的总能量都是相等的。如前所述，对静止液体，单位质量液体的总能量为单位质量液体的压力能、势能和动能三者之和。在图 2.10 中，任取两个截面A 1 和A 2 ，它们距基准水平面的距离分别为z 1 和z 2 ，断面平均流速分别为v 1 和v 2 ，压力分别为p 1 和p 2 。根据能量守恒定律可知，A 1 截面的能量之和等于A 2 截面的能量之和，即
因任意两个截面的能量是相等的，故
图 2.10 伯努利方程推导图
以上两式即理想液体的伯努利方程。其物理意义是：在管内作定常流动的理想液体其动能、势能和压力能之和是守恒的，在一定条件下三者可相互转换。
实际液体在管道内流动时，由于液体存在黏性，可被压缩，流动时会产生内摩擦力，消耗能量；由于管道形状和尺寸的变化，液流会产生扰动，消耗部分能量。因此，实际液体流动时，存在能量损失，单位质量液体在两截面之间流动的能量损失为h w 。
因实际流速u在管道通流截面上的分布不是均匀的，为简化问题，用平均流速替代实际流速计算动能将产生计算误差。为修正这一误差，便引进了动能修正系数a。它等于单位时间内某通流截通的实际动能与按平均流速计算的动能之比。其表达式为
动能修正系数a：在紊流时，取a = 1.1；在层流时，取a = 2。实际计算时，常取a = 1。在引进了能量损失h w 和动能修正系数a后，实际液体的伯努利方程可表示为
在利用式（2.28）进行计算时，必须注意：
①截面 1，2 应顺流向选取，且选在流动平稳的通流截面上。
②z和p应为通流截面的同一点上的两个参数，为方便起见，一般将这两个参数定在两个通流截面的轴心处。
例 2.3 应用伯努利方程，分析液压泵可正常吸油的条件，并分析其真空度的构成。液压泵吸油装置如图 2.11 所示。设液压泵吸油口处的绝对压力为p 2 ，油箱液面压力为大气压p 1 ，泵吸油口至油箱液面高度为h。
图 2.11 泵吸油装置
解 取油箱液面为基准面，并定为 1—1 截面，泵的吸油口处为 2—2 截面，对两截面列伯努利方程（动能修正系数取a 1 = a 2 = 1.0），有
式中 p 1 ——大气压；
v 1 ——油箱液面，可认为下降速度为零；
v 2 ——泵吸油处的流速；
h w ——吸油管路中由 1—1 截面至 2—2 截面的能量损失。
代入已知条件，式（2.29）可简化为
由式（2.30）可知，液压泵吸油口处的真空度由 3 部分组成：单位质量液体从静止加速到速度为v 2 ，其次把单位质量液体提高h消耗的压力和吸油管的压力损失。为保证液压泵正常工作，液压泵吸油口的真空度不能太大。若真空度太大，溶于油液中的空气会析出形成气泡，产生气穴现象，出现振动和噪声。因此，必须限制液压泵吸油口的真空度必须小于 0.3 × 10 5 Pa。其具体措施有增大吸油管直径、降低吸油高度，以及缩短吸油管长度、减少局部阻力等手段。
例 2.4 推导文丘利流量计的流量公式。
解 如图 2.12 所示为文丘利流量计原理图。在文丘利流量计上，取两个通流截面 1—1和2—2。它们的面积、平均流速和压力分别为A 1 ，v 1 ，p 1 ;A 2 ，v 2 ，p 2 。如不计能量损失，对通过此流量计的液流采用理想流体的能量方程，并取动能修正系数a = 1.0，则
图 2.12 文丘里流量计
根据流量连续性方程
U形管内的压力平衡方程为
式中 ρ，ρ′——液体和水银的密度。
将上述 3 个方程联立求解，可得
即流量可由压力差换算得到。
动量方程是动量定理在流体力学中的具体应用。动量方程可用来计算流动液体和管壁相互的作用力。根据刚体力学动量定理可知，作用在物体上全部外力的矢量和应等于物体在力作用方向上的动量的变化率，即
为推导液体作稳定流动时的动量方程，在如图 2.13 所示的管道中，任取通流截面 1，2 所截取的体积，在流体力学中称为控制体积。
图 2.13 动量方程推导图
假设液体为理想液体，截面 1，2 上的通流面积分别为A 1 ，A 2 ，平均流速分别为υ 1 ，υ 2 ，控制体积从 1—2 流到 1′—2′位置时，可看成一个质点系在运动。若以d[mv]表示控制体积在位置1—2′处相对于位置 1—2 处的动量增量，故动量的变化量为
F表示管壁作用在控制体积上的合力，根据动量定理，得
所以
式中，F，υ 1 ，υ 2 均为矢量。在具体应用时，应将式（2.36）向某指定方向投影，其合力F是管壁对控制体积的作用力，而控制体积对管壁的反作用力为F′，F与F′是作用力与反作用力的关系为大小相等，方向相反。在实际应用中，还有动量修正系数。液体的真实动量与用平均流速计算出的动量之比定义为动量修正系数，即
对圆管中的层流流动，取β = 1.33，近似值常取β = 1；对圆管中的紊流流动，取β = 1。
例 2.5 如图 2.14 所示为一滑阀工作示意图。液体流入、流出滑阀的情况如图示。试求液流对阀芯的轴向作用力。
解 取液压阀进出口之间的液体为控制体积。假设液体为理想液体，液体为恒定流动，则对控制体积上的液体应用动量定理
F = ρq（v 2 cos θ 2 - v 1 cos θ 1 ）
式中 θ 1 ，θ 2 ——流经滑阀式进出口液流的流入角度和流出角度。
因θ 2 为 90°，故
F = -ρqv 1 cos θ 1
阀芯对液体的作用力的方向向左，液体对阀芯的作用力的方向向右，促使阀芯关闭。
图 2.14 滑阀上的液动力
例 2.6 如图 2.15 所示为一个锥阀。锥阀的锥角为 2α，液体在压力p的作用下以流量q流经锥阀，当液流方向是外流式（见图 2.15（a））和内流式（见图 2.15（ b））时，求作用在阀芯上的液动力的大小和方向。
图 2.15 锥阀上的液动力
解 设阀芯对控制体积的作用力为F，流入速度为v 1 ，流出速度为v 2 。
对如图2.15（a）所示的情况，控制体取在阀口下方（图中阴影部分），沿液流方向列出动量方程为
因为v
1
v
2
，忽略v
1
，则θ
2
=
α，θ
1
= 0°，代入整理后，得
作用在阀芯上的力大小等于F′，方向向上，与F相反。该力使阀口关闭。
对如图 2.15（b）所示的情况，将控制体取在上方。同理，列出动量方程为
因θ 1 = 90°，θ 2 = α，则
同样，液流作用在阀芯上的力大小与F相等，方向向下。而液动力ρqv 2 cos α与液压力方向相反，力图使阀口开启。由前述分析可知，分析液动力对阀芯的作用方向时，应根据具体情况来分析，不能一概而论地认为液动力都是促使阀口关闭的。