3.2 金属材料模型

Radioss中的材料模型按照工程应用来说有金属、塑料橡胶、复合材料、爆破材料、岩石等；按照材料模型的属性来说有各向同性、各向异性、弹性、超弹性、弹塑性、黏弹性、延性失效、脆性失效等。具体分类信息可以参见Radioss工具书（Radioss Manual）中的材料章节和理论手册（Radioss Theory Manual）。这里按照工程应用来分别解释Radioss中的材料模型。先来介绍金属材料类涉及的力学概念。

· 硬化（各向同性硬化、运动硬化）。

· 应变率。

· 温度影响。

· 金属回弹中的可变弹性模量。

Radioss中的金属材料主要集中在材料模型库里面的Elasto-Plastic类中。比如2、22、23、27、32、36、43、44、48、49、52、53、57、60、64、66、71、72、73、74、78、79、80、84、87等LAW材料模型可以描述金属。它们用于车身金属面板、薄钢板、铝材、记忆合金等。这些材料模型有不同的特性（各向同性硬化、小变形、与应变率相关、延性和脆性失效等）和适应性。这些信息可以在Radioss工具书Reference Guide材料汇总表中找到。选择合适的材料模型对于提高仿真精度是非常重要的。

Radioss中的材料模型和失效模型是分开的，它们有超过300多种组合。如何在这么多的材料模型中选用合适的模型呢？如果只是知道材料是金属而没有其他信息，或者作为初学者不太清楚各个模型的区别，则推荐最常用的材料模型LAW2和LAW36。使用这两个模型需要一些材料数据，这些数据可以通过一些材料试验得到，也可以向供货商或从公开文献上得到，或在Altair材料库（Material Data Center）中找到，如图3-7所示。越是详实的材料数据越能提高仿真结果的精确性。

使用LAW2 和LAW36首先需要材料应力应变曲线。对于拉伸试验数据的具体处理方法请参见视频示例。材料的真实应力和真实塑性应变曲线在LAW2中通过Johnson-Cook模型描述，因此需要输入Johnson-Cook参数 a 、 b 、 n ， 当然在LAW2中除了可以使用传统的参数输入方法，也可以使用另一种更加直观的方法，即输入屈服值（ σ _y ）、材料强度值（UTS）、颈缩位置的工程应变值（ ε _UTS ），Radioss将自动拟合Johnson-Cook的 a 、 b 、 n 参数，并且拟合的这些参数还可以在starter输出文件中打印出来，如图3-8~图3-10所示。

LAW36则是通过直接输入真实应力真实塑性应变曲线来实现的。从试验中得到的工程应力应变曲线如果出现震荡，首先要过滤曲线，LAW36卡片需要输入光滑曲线，然后转成真实应力应变曲线，去除弹性部分和颈缩点后的部分，转换成真实应力真实塑性应变曲线，还需要使用材料模型（Johnson-Cook、swift-voce等模型）延长曲线（比如延伸到应变为1），否则Radioss只能按照输入曲线中最后两点的斜率线性外插，如图3-11所示。

3.2.1 应变率效应

Radioss的Explicit求解器用于求解碰撞、跌落等动态载荷下的仿真，金属材料在高速加载时会出现强化，即一定应变下应力随着应变率的增加而增加，这是应变率效应。在Radioss中许多材料模型都可以考虑材料应变率效应。

1.直接输入多条不同应变率的应力应变曲线

在Radioss中，如36、43、57、60、65、66等LAW模型可以直接输入不同应变率下的应力应变曲线。输入多条应力应变曲线时需要注意，高应变率应力应变曲线始终在低应变率曲线上面，并且数据是单独递增的，否则高应变率曲线上的应力在Radioss线性外推时会比低应变率曲线上的应力还要低（见图3-12），这种情况是不符合实际的，应该避免。

2.用材料模型

应变率效应可以通过Johnson-Cook模型描述， 即使用Johnson-Cook模型中的参数 c 、 来描述。 Radioss中的LAW材料模型2、 22、 23、 27、 44、 79 等都是用Johnson-Cook模型来描述应变率的。

式中， 是Johnson-Cook模型中考虑应变率的部分。

当 时， ， 所以这部分为1， 即没有考虑应变率； 当 时， 这个对数可能出现负值， 所以在Radioss中规定此时即认为没有考虑应变率。 那么参数 c 怎么得到呢？ 首先需要几条 （至少三条） 不同速率下拉伸的试验数据。 取最小速率 （或准静态） 为参考速率， 然后用Altair Compose或者Excel等拟合参数 c ，使式 （3-9） 很好地再现这些不同速率的应力应变曲线。

应变率效应还可以使用Cowper Symonds模型，如Radioss中的44、52、66、80 LAW材料模型中就有这个应变率模型。

式中， 就是考虑应变率的部分， 即用幂指数应变率来缩放应力， 参数 c 和 p 也可以通过类似上面的方法用试验数据拟合得到。

在Radioss中，可以通过参数ICC来考虑应变率对最大应力 σ _max 的影响。这个参数通常用于描述应变率（如上面讲到的Johnson-Cook模型、Cowper Symonds模型），如果用户直接输入了不同的应力应变曲线，那么最大应力已经在曲线中表达了，就不再需要ICC参数了。

当ICC=1时，就是考虑应变率对最大应力的影响，即最大应力也随着应变率的变大而变大（见图3-13）。如在Johnson-Cook模型中最大应力为

在Cowper Symonds模型中最大应力为

当ICC=2时，就是不考虑应变率对最大应力的影响，即最大应力始终是 σ _max = σ _max0 ，不随着应变率的增大而增大。但是应力在到达材料最大应力前仍然会随着应变率的变化而变化。图3-14所示虚线即为高于参考应变率下的有应变率效应的应力应变曲线。

3.2.2 温度影响

金属材料在不同温度下表现的应力应变曲线是不一样的，一般来说温度升高则材料变软（强度变小）、延性更好，反之会变硬变脆。Radioss中的LAW2、LAW84采用Johnson-Cook模型来考虑材料的温度影响。

式 （3-12） 中， 就是考虑了温度对材料屈服应力的软化作用。 T _melt 是材料融化时的温度， T _r 是室温 （默认为298K）。 当材料温度达到融化温度， 即 T = T _melt 时， =1，材料的屈服应力为0； 当材料处于室温， 即 T = T _r 时， ， 那么没有温度变化， 所以也没有材料软化。 再来看参数 m ， 从式 （3-12） 可以得出， 通过不同的 m 值用幂函数来描述材料由于升温而引起的软化， 比如当 m =1时材料随着温度的升高而线性软化， 当 m =0 时没有任何由温度引起的材料软化，如图3-15所示。

每个时刻的温度 T 在Radioss中使用下面的公式计算。

这种计算方法在LAW63、LAW64、LAW73和LAW74等都有应用。式（3-13）中， T _i 是材料初始温度， E _int 是内能（比如材料变形引起的内能）， ρC _p （ Volume ）是材料单位体积下的热容，所以 这部分就是计算由于材料变形而引起的物体温度上升。

3.2.3 可变弹性模量

金属回弹是在冲压成型时比较常见的现象。一般在模拟金属回弹时设定金属材料的弹性模量 E 不变，但是如果在一些高强度钢（如AHSS）的回弹中使用不变的弹性模量就不能很精确地预测金属回弹，而且对于这些金属，在很多试验和研究中发现弹性模量也不是常数而是根据塑性变形而变化的，（见图3-16），所以需要在回弹分析（尤其是卸载）时考虑在不同塑性应变下有不同的弹性模量来更精准地模拟这些材料的回弹，Radioss中的LAW43、LAW57、LAW60、LAW74和LAW78就有这个功能。

在Radioss中可以通过两种方式来描述这种现象， 一个就是直接输入曲线的方式， 即在fct＿IDE中输入关于弹性模量比例因子和有效塑性应变的曲线， Radioss会根据卡片中输入的弹性模量 E 和这个比例因子的曲线得到弹性模量和有效塑性应变的关系， 如图3-17所示。

还有一种是输入参数的方式， 即输入 E _inf 和 C _E 。 这时需要设fct＿IDE=0， 那么Radioss就会计算弹性模量和有效塑性应变的关系， 如图3-18所示。

图3-17和图3-18所示曲线可以通过拉伸试验中反复的拉伸卸载，观察每个塑性变形下卸载时的弹性模量来得到，如图3-19所示。

3.2.4 硬化

如果金属是在循环载荷作用下，那么还需要考虑材料硬化方式。材料的硬化是指材料经过屈服后再继续受力时，其内部组织结构继续发生变化，这导致材料的抗变形能力提高了。在理想塑性变形中，应力在塑性阶段是不会变化的（一直为屈服应力），而材料实际表现出来的应力是增大的，这种现象就称为材料应力硬化。图3-20所示中方形标注表示硬化的曲线，也称为强化曲线。材料的应力硬化在Radioss中有各向同性硬化（isotropic hardening）和运动硬化（kinematic hardening）这两种。

1.各向同性硬化（参数Chard=0：用各向同性硬化模型）

以图3-21所示的循环拉伸试验为例，各向同性硬化就是一个拉伸试块经过屈服点 σ _y 一直到 σ _1p ，然后完全放松，试块回弹一部分（弹性应变部分），并有永久的塑性应变 ε ₁ 。之后又进行第二次拉伸，那么此时这个试块一直要到 σ _1p 才开始进入屈服，也就是此时材料的屈服应力提高了。继续拉伸至 σ _2p 后再次完全放松，同样此时试块的屈服应力提高到了 σ _2p 。

再如图3-22所示，拉伸一个试块经过屈服点 σ _y 一直到 σ _1p ，然后压缩试块，那么试块的压缩屈服点为 σ _3p ， 拉和压的屈服相同， 即 。 继续压缩试块直至 σ _4p ， 然后反向拉伸试块， 由于拉和压的屈服相同， 即 ， 此时材料的拉伸屈服值高于原来的 σ _1p ， 也就是说此时试块的屈服应力从 σ _1p 提高到了 σ _5p 。

材料各个方向（拉方向、压方向）的屈服都是一样的。图3-23中用主应力平面来看各向同性硬化，可以更加明显地看出屈服面类似于初始屈服面，是以一样的形状并且是以同一个中心膨胀的。

2.运动硬化（参数Chard=1：用运动Prager-Ziegler 硬化模型）

运动Prager-Ziegler 硬化模型也可以称为线性Ziegler硬化模型。 Prager模型也称为线性硬化模型， 1959年， Ziegler在这个硬化模型基础上改进而得到了线性Ziegler硬化模型。 有些材料试块在循环加载的情况下， 会出现包辛格 （ Bauschinger） 效应 （在金属单晶体材料中不出现包辛格效应， 多晶体材料晶界间的残余应力引起包辛格效应） ， 即金属试块由受拉而引起的塑性应变强化会导致随后的受压而出现屈服应力下降的现象。 如图3-24所示， 拉伸一个试块经过屈服点 σ _y 一直到 σ _1p ， 然后压缩试块， 那么试块的压缩屈服点为 σ _3p ， 不同于各向同性硬化， 这里有｜ σ _3p ｜ <｜ σ _1p ｜， 并且｜ σ _3p ｜ + ｜ σ _1p ｜ =2 σ _y ； 继续压缩试块直至 σ _4p ， 然后反向拉伸试块， 一直到 σ _5p 材料才再次进入拉伸屈服， 这时材料的拉伸屈服仍然满足 ， 以此循环加载后发现屈服面是形状不变且移动的。

如果也从主应力平面来看运动硬化，比如在 σ ₁ 方向，拉应力变大导致了屈服压应力变小，但是拉压屈服之和不变（总是2 σ _y ）。在 σ ₂ 方向也是同样情况。如图3-25所示，可以看出在运动硬化中拉和压两个方向表现出了不同的材料属性。

参数Chard在Radioss中是一个可以在0~1之间取值的参数，用于描述材料硬化规律更接近各向同性硬化还是运动硬化。这个参数在Radioss的2、36、43、44、48、57、60、66、73和74这些LAW材料模型中都是具备的。

3.2.5 屈服和压力的关系

汽车上使用的金属构件实际上是经过多道加工工序的，这些加工会使得材料在受压时的屈服提高。尤其对于一些受压较多的构件，如果考虑压力状态影响下的屈服会使得仿真结果更加精准，如图3-26所示。

这个特性在LAW36中可以通过曲线fct＿IDp来描述。 这是一条屈服缩放系数和压力状态的曲线， 这条曲线的 x 轴是压力， 所以正向是压缩而负向是拉伸。 在压缩区段可以按照材料实际相应地放大屈服值。 这条曲线可以通过一系列的试验对标校验， 如图3-27和图3-28所示。

3.2.6 常用金属屈服属性汇总

常用金属屈服属性见表3-1。