2.2 有限元控制方程的积分算法

在Radioss中有Explicit和Implicit两种时间积分可供选择。

1.显式积分法（Explicit）

对于Explicit和Implicit的区别可以通过下面这个简单的例子（不考虑阻尼）来讲解，如图2-2所示。

在Explicit求解方式中需要求解某一时刻 t _n 的动态平衡方程：

式中， M 是质量矩阵； K 是刚度矩阵； f _n 是外力矢量。

x _n 是某点在时刻 t _n 的位移， 它对时间求导就是速度 ， 速度再对时间求导是加速度 。在数值计算中可采用不同的方法来计算速度和加速度， 比如中心差分法：

速度

加速度

在时刻 t _n 已知的是位移 x _n 和速度 ， 需要求解的是下一时间步的位移 x _{n +1} 和速度 _{n +1 / 2} 。为了求解这两个未知量可以用动态平衡方程先求出 ， 然后再用速度公式求出位移 x _{n +1} ， 以此类推可以求解出再下一时间步的位移和速度， 如图2-3和图2-4所示。

在Explicit中，未知位移 x _{n +1} 就可以表达为

式中，Δ t ² 指（Δ t ） ² ，后面不再说明。

可以看到，式（2-29）中未知量 x _{n +1} 的求解只需要对质量矩阵求逆矩阵。由于质量矩阵都是对角矩阵，所以求其逆矩阵非常方便。Explicit中所有的量（位移、加速度等）都可以用矢量表达，这就大大降低了对计算资源的消耗。

对于最初状态 t =0， x 和 是已知的， 开始计算时设定 。

2.隐式积分法（Implicit）

使用Implicit时也需要求解某一时刻 t _{n +1} 的平衡方程，类似于explicit。同样以单质点（不考虑阻尼）的弹簧为例，有平衡方程

式中，位移 x _{n +1} 是未知的。

Newmark方法中对于系统的平衡方程计算采用了泰勒展开法，这样在 t _{n +1} 时刻的位移和速度可以表达为

即

更多的内容可以参见Radioss帮助文档Theory Manual中的DYNAMIC ANALYSIS部分。

将式（2-33）代入平衡方程后得到

式（2-34）左侧显示质量矩阵和刚度矩阵对于未知量 x _{n +1} 有耦合，这样在解 x _{n +1} 时就需要对这个耦合矩阵求逆，所以这个计算过程是比较消耗计算资源的。

使用Explicit时，为了计算稳定通常时间步长会设置得比较小，所以Explicit更适合快速的非线性动态分析（如跌落、碰撞），而对于静态、很慢的动态分析等，则需要计算很长时间。对于后者，Implicit就比较合适了，即便用很大的时间步长计算也很稳定，所以能更快地完成计算。但是，对于有些非线性的问题，Implicit的收敛性会受限。综合来说，Explicit和Implicit的优缺点见表2-2。

根据Explicit和Implicit求解方式的特点，在实际工程问题中它们有各自的适用场合，如图2-5所示。

Radioss对这两种方式中的内力计算使用了共同的子程序，这样显式和隐式之间就可以无缝切换而不会有不平衡的问题，从而可以用于同一个构件的多级分析。比如回弹分析中，先用Explicit分析板材的冲压成型（这个过程时间较短），冲压完成后，可以用Implicit来分析放置冲压构件时的板材回弹（这个过程时间较长）。再比如在碰撞前考虑重力对构件的影响时，首先用Implicit计算重力加载下的构件受力状态，然后用Explicit来分析碰撞。

3. Radioss数值求解流程

Radioss数值求解流程如图2-6所示。每个时间步长内有以下计算步骤。

1）将外力用于位移、速度、加速度的计算。

2）循环计算每个单元的内力和沙漏。在每个单元内有如下计算。

a）使用Jacobian矩阵建立真实系统和等参系统中的位移关系：

计算应变率（该运动方程用于平衡方程中）：

b）通过应变率和材料属性计算应力变化率：

使用显式积分的方法计算下一时间步长内的应力：

c）计算内力和沙漏。

用单元时间步长或节点时间步长计算下一个时间步长。

在计算完所有单元的内力后计算是否有接触力。

在计算了所有的力之后，就可以求得用于质量矩阵和内力、外力的加速度：

最后用得到的值计算速度、位移。