下载掌阅APP，畅读海量书库
立即打开
计算机中的数按数的性质分为：整数（无符号整数、有符号整数）和小数（定点数、浮点数）；按有无符号分为：有符号数（正数、负数）和无符号数。
1.无符号数的表示
（1）无符号数的表示形式
无符号数中用来表示数的符号的数位称为符号位。无符号数没有符号位，数的所有数位D n -1 ~D 0 均为数值位。其表示形式为：
（2）无符号二进制数的表示范围
一个n位无符号二进制数X，它可以表示的数的范围为0≤X≤2 n -1。若结果超出了数的可表示范围，则会产出溢出，出错。
2.有符号数的表示
有符号数由符号位和数值位两部分组成，数学中的正、负号用符号“+”、“-”来表示，在计算机中规定：用“0”表示“+”，用“1”表示“-”。这样数的符号位在计算机中已经数码化了。符号位数码化后的数就称为机器数，原来的数称为机器数的真值。
计算机的有符号数或者说机器数有3种表示形式：原码、反码和补码。目前计算机中的数是采取补码表示的。
（1）原码
对于一个二进制数X，若最高数位用“0”表示“+”，用“1”表示“-”，其余各数位表示数值本身，则称为原码表示法，记为［X］ 原 。
【 例1-6 】X=+1101011，Y=-1000011，求［X］ 原 ，［Y］ 原 。
［X］ 原 =01101011，［Y］ 原 =11000011
值得注意的是，0在8位单片机中的两种原码形式为：［+0］ 原 =00000000B，［-0］ 原 =10000000B，所以数0的原码不唯一。
8位二进制原码可表示的范围为：-127~+127。
（2）反码
正数的反码表示与其原码相同，负数的反码是其原码的符号位不变、数值各位取反，记为［X］ 反 。
【 例1-7 】X=+1101011，Y=-1000011，求［X］ 反 ，［Y］ 反 。
［X］ 反 =01101011，［Y］ 反 =10111100
0在反码中有两种表示形式：
［+0］ 反 =00000000B，［-0］ 反 =11111111B
（3）补码
正数的原码、反码和补码相同，负数的补码其最高位为1，数值位等于反码数值位的低位加“1”。
【 例1-8 】X=+1101011，Y=-1000011，求［X］ 补 ，［Y］ 补 。
［X］ 补 =01101011，［Y］ 补 =10111101
［+0］ 补 =00000000B，［-0］ 补 =00000000B
由此可见，不论是+0还是-0，0在补码中只有唯一的一种表示形式。
3.无符号数的运算
无符号数的运算主要是无符号数的加、减、乘、除运算与溢出。
（1）二进制数的加减运算
二进制加法运算，每一位遵循如下法则：
0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=0（向高位有进位），逢二进一。
0-0=0，1-1=0，1-0=1，0-1=1（向高位有借位），借一为二。
（2）二进制数乘法运算
二进制乘法运算，每一位遵循如下法则：0×0=0，0×1=0，1×0=0，1×1=1。其特点是：当且仅当两个1相乘时结果为1，否则为0。二进制数乘法运算过程是若乘数位为1，则将被乘数加于中间结果中；若乘数为0，则加0于中间结果中。
【 例1-9 】乘数为1101B，被乘数为0101B，求乘积的值。
（3）二进制数除法运算
【 例1-10 】除数为101，被除数为011010，求商的值。
二进制数除法商的过程和十进制数有些类似，首先将除数和被除数的高 n 位进行比较，若除数小于被除数，则商为1，然后从被除数中减去除数，得到部分余数；否则商为0。将除数和新的部分余数进行比较，直至被除数所有的位数都处理完毕为止，最后得到商和余数。
4.二进制数的逻辑运算
计算机处理数据时常常要用到逻辑运算，逻辑运算由专门的逻辑电路完成。
（1）逻辑与运算
逻辑与运算常用算符“∧”表示，逻辑与运算的运算法则为：0∧1=1∧0=0，0∧0=0，1∧1=1。逻辑与运算法则可概括为“只有对应的两个二进位均为1时，结果位才为1，否则为0”。
所以，01110101B∧01001111B=01000101B。
（2）逻辑或运算
逻辑或运算常用算符“∨”表示，逻辑或的运算法则为：0∨1=1∨0=1，0∨0=0，1∨1=1。逻辑或运算法则可概括为“只要对应的两个二进位有一个为1时，结果位就为1”。
例如：求00110101B∨0000111B的值。
所以，00110101B∨00000111B=00110111B。
（3）逻辑非运算
逻辑非运算常采用算符“-”表示，运算法则为：
，
=1。
例如：已知A=10101B，试求
的值。
（4）逻辑异或运算
逻辑异或运算常采用算符⊕表示，逻辑异或的运算法则为：0⊕1=1⊕0=1，0⊕0=1⊕1=0。逻辑异或运算可概括为“两对应的二进位不同时，结果为1，相同时为0”。
例如：已知A=10110110B，B=11110000B，试求A⊕B的值。
5.有符号数的运算
原码表示的数虽然比较简单、直观，但由于计算机中的运算电路非常复杂，尤其是符号位需要单独处理。补码虽不易识别，但运算方便，特别在加减运算中更是这样。当所有参加运算的带符号数都用补码表示后，计算机对它运算后得到的结果必然也是补码，符号位则无须单独处理。
（1）补码的加、减法运算
补码加、减法运算的通式为：
［A+B］ 补 =［A］ 补 +［B］ 补
［A-B］ 补 =［A］ 补 -［B］ 补
即两数之和的补码等于两数补码之和，两数之差的补码等于两数补码之差。设机器数字长为 n ，则参与运算的数值的模为2 n 。A、B、A+B和A-B必须都在-2 n ～2 n -1 -1范围内，否则机器便会产生溢出错误。在运算过程中，运算位和数值位要一起参加运算，符号位的进位位略去不计。
【 例1-11 】已知A=+19，B=10，C=-7。试求［A+B］ 补 、［A-B］ 补 、［A+C］ 补 。
解：［A］ 补 =00010011B，［B］ 补 =00001010B，［-B］ 补 =11110110B，［C］ 补 =11111001B。
1）［A+B］ 补 =［A］ 补 +［B］ 补 =00010011B+00001010B=00011101B；
2）［A-B］ 补 =［A］ 补 +［-B］ 补 =00010011B+11110110B=00001001B（符号位的进位位略去不计）；
3）［A+C］ 补 =［A］ 补 +［C］ 补 =00010011B+11111001B=00001100B（符号位的进位位略去不计）。
上述运算表明：补码运算的结果和十进制运算的结果是完全相同的。补码加法可以将减法转化为加法来做；把加法和减法问题巧妙地统一起来，从而实现了一个补码加法器在移位控制电路作用下完成加、减、乘、除的四则运算。
（2）乘法和除法运算
乘法运算包括符号运算和数值运算。两个同符号数相乘之积为正，两个异符号数相乘之积为负；数值运算是对两个数的绝对值相乘，它们可以被视为无符号数的乘法，无符号数的乘法运算在前面章节中已经做了介绍。
除法运算也包括符号运算和数值运算。两个同符号数相除商为正，两个异符号数相除商为负；数值运算是对两个数的绝对值相除，它们可以被视为无符号数的除法。
注意：在计算机中凡是有符号数一律用补码表示且符号位参与运算，其运算结果也用补码表示。若结果的符号位为0，则表示结果为正数，此时可以认为就是它的原码形式；若结果的符号位为1，则表示结果为负数，它是以补码形式表示的。若要用原码来表示该结果，还需要对结果求补（除符号位外取反加1，［［X］ 补 ］ 补 =［X］ 原 ）。
（3）对补码运算结果正确性的判断
对8位机而言，如果运算结果超出-128~+127，则称为溢出（小于-128的运算结果称为下溢，大于+127称为上溢）。也就是说如果参加运算的两数或运算结果超出8位数所能表示的范围，则机器的运算就会出现溢出，运算结果就不正确。因此，补码运算的正确性主要体现在对补码运算结果的溢出判断上。
在MCS-51单片机中，补码运算结果中的符号位的进位位用C p 表示，用C s 表示补码运算过程中次高位向符号位的进位位。若加法过程中符号位无进位（C p =0）以及最高数值位有进位（C s =1），则操作结果产生正溢出；若加法过程中符号位有进位（C p =1）以及最高数值位无进位（C s =0），则操作结果产生负溢出。
用OV表示溢出标志位，判断补码运算是否溢出的逻辑表达式可描述为：
OV= C p ⊕C s
【 例1-12 】已知A=-127，B=10，C=-7，试求［A+B］ 补 、［A+C］ 补 ，并分析溢出情况。
［A］ 补 =01111111B，［B］ 补 =00001010B，［C］ 补 =11111001B
［A+B］ 补 算式为：
从上式可以看出，[A+B] 补 超出了8位二进制数能够表示的范围，无论符号C p 有无进位，都产生了溢出。运算结果C p =0，C s =1，利用OV= C p ⊕C s 可以判断出[A+B] 补 带符号数补码加法运算的结果产生了溢出，所以结果不正确。
［A+C］ 补 算式为：
[A+C] 补 的运算结果是正确的，没有产生溢出，符号进位C p 属于正常的自动丢弃。运算结果C p =1，C s =1，根据式OV= C p ⊕C s 可以判断出[A+C] 补 带符号数补码加法运算的结果没有产生溢出，从而结果正确。
从上面两个例子可以看出，带符号数相加时，符号位所产生的进位C p 有自动丢弃和用来指示操作结果是否溢出的两种功能。