1.2 复杂电路的分析方法与规律

1.2.1 基本概念

在分析简单电路时，一般应用欧姆定律和电阻的串、并联规律，但用它们来分析复杂电路就比较困难。这里的简单电路通常是只有一个电源的电路，而复杂电路通常是有两个或两个以上电源的电路。对于复杂电路，常用基尔霍夫定律、叠加定理和戴维南定理进行分析。下面通过图1-8所示的一种复杂电路来说明几个基本概念：支路、节点、回路和网孔。

1.2.2 基尔霍夫定律

基尔霍夫定律又可分为基尔霍夫第一定律（又称基尔霍夫电流定律）和基尔霍夫第二定律（又称基尔霍夫电压定律）。

1.基尔霍夫第一定律

基尔霍夫第一定律指出，在电路中，流入任意一个节点的电流之和等于流出该节点的电流之和 。下面以图1-9所示的电路来说明该定律。

基尔霍夫第一定律不但适合于电路中的节点，对一个封闭面也是适用的。 图1-10a中流入晶体管的电流 I _b 、 I _c 与流出的电流 I _e 有以下关系

I _b + I _c = I _e

在图1-10b中，流入三角形负载的电流 I ₁ 与流出的电流 I ₂ 、 I ₃ 有以下关系

I ₁ = I ₂ + I ₃

2.基尔霍夫第二定律

基尔霍夫第二定律指出，电路中任一回路内各段电压的代数和等于零， 即

Σ U =0

在应用基尔霍夫第二定律分析电路时，需要先规定回路的绕行方向，当流过回路中某元件的电流方向与绕行方向一致时，该元件两端的电压取正，反之取负；电源的电动势方向（电源的电动势方向始终是由负极指向正极）与绕行方向一致时，电源的电动势取负，反之取正。下面以图1-11所示的电路来说明这个定律。

3.基尔霍夫定律的应用——支路电流法

对于复杂电路的计算常常要用到基尔霍夫第一、第二定律，并且这两个定律经常同时使用，下面介绍应用这两个定律计算复杂电路的一种方法——支路电流法。

支路电流法使用时的一般步骤如下：

1）在电路上标出各支路电流的方向，并画出各回路的绕行方向。

2）根据基尔霍夫第一、第二定律列出方程组。

3）解方程组求出未知量。

下面举例说明支路电流法的应用。图1-12所示为汽车照明电路，其中 E ₁ 为汽车发电机的电动势， E ₁ =14V， R ₁ 为发电机的内阻， R ₁ =0.5Ω， E ₂ 为蓄电池的电动势， E ₂ =12V， R ₂ 为蓄电池的内阻， R ₂ =0.2Ω，照明灯的电阻 R =4Ω，求各支路电流 I ₁ 、 I ₂ 、 I 和加在照明灯上的电压 U _R 。

1.2.3 叠加定理

对于一个元件，如果它两端的电压与流过的电流成正比，这种元件就被称为线性元件。线性电路是由线性元件组成的电路， 电阻就是一种最常见的线性元件。 叠加原理是反映线性电路基本性质的一个重要原理。

叠加原理的内容是：在线性电路中，任一支路中的电流（或电压）等于各个电源单独作用在此支路中所产生的电流（或电压）的代数和。

下面以求图1-13a所示的电路中各支路电流 I ₁ 、 I ₂ 、 I 的大小来说明叠加定理的应用，图1-13a中的 E ₁ =14V， R ₁ =0.5Ω， E ₂ =12V， R ₂ =0.2Ω， R =4Ω。

分析过程如下：

第一步：在图1-13a所示的电路中标出各支路电流的方向。

第二步：画出只有一个电源 E ₁ 作用时的电路，把另一个电源当作短路，并标出这个电路各支路的电流方向，如图1-13b所示，再分别求出该电路各支路的电流大小。

第三步：画出只有电源 E ₂ 作用时的电路，把电源 E ₁ 当作短路，并在这个电路中标出各支路电流的方向，如图1-13c所示，再分别求出该电路各支路的电流大小。

第四步：将每一支路的电流或电压分别进行叠加。凡是与原电路（见图1-13a所示的电路）中假定的电流（或电压）方向相同的为正，反之为负。这样可以求出各支路的电流分别是

1.2.4 戴维南定理

对于一个复杂电路，如果需要求多条支路的电流大小，可以应用基尔霍夫定律或叠加定理。如果仅需要求一条支路中的电流大小，应用戴维南定理更为方便。

在介绍戴维南定理之前，先来说明一下二端网络。 任何具有两个出线端的电路都可以称为二端网络。包含电源的二端网络称为有源二端网络，否则就叫作无源二端网络。 图1-14a所示的电路就是一个有源二端网络，通常可以将它画成图1-14b所示的形式。

戴维南定理的内容是：任何一个有源二端网络都可以用一个等效电源电动势 E ₀ 和内阻 R ₀ 串联起来的电路来代替 。根据该定理可以将图1-14a所示的电路简化成图1-14c所示的电路。

那么等效电源电动势 E ₀ 和内阻 R ₀ 如何确定呢？ 戴维南定理还指出：等效电源电动势 E ₀ 是该有源二端网络开路时的端电压；内阻 R ₀ 是指从两个端点向有源二端网络内看进去，并将电源均当成短路时的等效电阻。

下面以图1-15所示的电路为例来说明戴维南定理的应用。在图1-15a所示的电路中， E ₁ =14V， R ₁ =0.5Ω， E ₂ =12V， R ₂ =0.2Ω， R =4Ω，求流过电阻 R 的电流 I 的大小。

分析过程如下：

第一步：将电路分成待求支路和有源二端网络，如图1-15a所示。

第二步：假定待求支路断开，求出有源二端网络开路的端电压，此为等效电源电动势 E ₀ ，如图1-15b所示。

第三步：假定有源二端网络内部的电源都短路，求出内部电阻，此为内阻 R ₀ ，如图1-15c所示。

第四步：画出图1-15a所示电路的戴维南等效电路，如图1-15d所示，再求出待求支路电流的大小。

1.2.5 最大功率传输定理与阻抗变换

1.最大功率传输定理

在电路中，往往希望负载能从电源中获得最大的功率，怎样才能做到这一点呢？如图1-16所示， E 为电源的电动势， R 为电源的内阻， R _L 为负载电阻， I 为流过负载 R _L 的电流， U 为负载两端的电压。

负载 R _L 获得的功率 P = UI ，当增大 R _L 的阻值时，电压 U 会增大，但电流 I 会减小，如果减小 R _L 的阻值，虽然电流 I 会增大，但电压 U 会减小。什么情况下功率 P 的值最大呢？ 最大功率传输定理内容是：负载要从电源获得最大功率的条件是负载的电阻（阻抗）与电源的内阻相等。 负载的电阻与电源的内阻相等又称为两者 阻抗匹配 。在图1-16所示的电路中，负载 R _L 要从电源获得最大功率的条件是 R _L = R ，此时 R _L 得到的最大功率是 。

如果有多个电源向一个负载供电，如图1-17所示，负载 R _L 怎样才能获得最大功率呢？这时就要先用戴维南定理求出该电路的等效电阻 R ₀ 和等效电动势 E ₀ ，只要 R _L = R ₀ ，负载就可以获得最大功率 。

2.阻抗变换

当负载的阻抗与电源的内阻相等时，负载才能从电源中获得最大功率，但很多电路的负载阻抗与电源的内阻并不相等，这种情况下怎么才仍能让负载获得最大功率呢？解决方法是进行阻抗变换， 阻抗变换通常采用变压器。 下面以图1-18所示的电路为例来说明变压器的阻抗变换原理。

在图1-18a中，要使负载从电源中获得最大功率，需让负载的阻抗 Z 与电源（这里为信号源）内阻 R ₀ 相等，即 Z = R ₀ ，这里的负载可以是一个元件，也可以是一个电路，它的阻抗可以用 表示。

现假设负载是图1-18b虚线框内由变压器和电阻组成的电路，该负载的阻抗 ，变压器的匝数比为 n ，电阻的阻抗为 Z _L ，根据变压器改变电压的规律 可得到下式，即

从上式可以看出，变压器与电阻组成电路的总阻抗 Z 是电阻阻抗 Z _L 的 n ² 倍，即 Z = n ² Z _L 。如果让总阻抗 Z 等于电源的内阻 R ₀ ，变压器和电阻组成的电路就能从电源获得最大功率，又因为变压器不消耗功率，所以功率全部传送给真正负载（电阻），从而达到功率最大程度传送的目的。由此可以看出： 通过变压器的阻抗变换作用，真正负载的阻抗不须与电源内阻相等，同样能实现最大功率传输。

下面举例来说明变压器阻抗变换的应用。如图1-19所示，音频信号源内阻 R ₀ =72Ω，而扬声器的阻抗 Z _L =8Ω，如果将两者按图1-19a的方法直接连接起来，扬声器将无法获得最大功率，这时可以在它们之间加一个变压器T ₁ ，如图1-19b所示，至于选择匝数比 n 为多少的变压器，可用 R ₀ = n ² Z _L 来计算，结果可得到 n =3。也就是说，只要在两者之间接一个 n =3的变压器，扬声器就可以从音频信号获得最大功率，从而发出最大的声音。