2.2 频域分析

令x _t 是均值为零的平稳过程，其自协方差R _k =Cov（x _t ，x _t-k ），且

存在，则称s（w）为序列的功率谱（power spectrum）， =s（w）/Var（x）为标准化谱。s（w）和 都是频率w的正的偶函数。自协方差序列和功率谱存在一一对应关系，可以根据（2-6）导出下式（2-7），反之亦然。

研究序列周期性或近似周期性时，谱能提供有用的解释。利用Q _k =Cov（x _t ，y _t-k ）代替（2-6）的R _k 得到比较复杂的互谱函数c（w），该函数测量对应各频率的序列滞后阶数及不同频率的关联强度。Granger和Hatanaka（1964）讨论了该函数，Koopmans（1974）也研究了该函数的检验和估计问题。

总体而言，上述函数有利于分析序列的非线性性质。定义均值为m的平稳序列x _t 的三阶中心自相关矩（third-order central automoment）如下：

C（k，s）=E［（x _t -m）（x _t+k -m）（x _t+s -m）］ （2-8）

以下的对称关系成立：

C（k，s）=C（s，k）=C（-k，s-k）=C（k-s，-s）

定义双谱（bispectrum）为：

其逆函数为：

根据对称性，只要知道区域0≤w ₁ ，w ₂ ≤π，w ₁ +w ₂ ≤π内的双谱即可。

如果x _t 是平稳的线性过程，且：

其中，ε _t 是均值为零的独立同分布序列，x _t 的谱就等于：

双谱为：

f（ω ₁ ，ω ₂ ）=s（ω ₁ ）s（ω ₂ ）s（ω ₁ +ω ₂ ）λ ₃ （2-10）

其中， 。如果λ ₃ =0，在所有频率上，就有f（w ₁ ，w ₂ ）=0。例如，Guassian过程（Guassian process）的函数：

称为标准化双谱。对于线性序列，该函数在所有频率上都是常数。因此，该函数可用于研究非线性问题。Ashley、Patterson和Hinich（1986）曾利用该函数进行线性检验，Subba Rao和Gabr（1984）也通过各种示例讨论了估计问题。该方法的问题是不容易解释图形。图形一般是凹凸不平的，并且没有具体的形状。即使是NLAR（1）或双线性模型等简单非线性模型也不具备明显的双谱形状，部分非线性模型在所有频率上都有f（w ₁ ，w ₂ ）=0，所以该性质不是线性模型的特征。根据Tukey（1959）提出的想法，Godfrey（1965）首先利用经济数据进行双谱估计。Brillinger和Rosenblatt（1967a，b）最早提出双谱理论及高阶函数，即复谱（polyspectra）理论。

交叉双谱（cross-bispectrum）定义适用于研究序列间的关系。令y _t 和x _t 是一对平稳序列，均值分别是μ _y 和μ _x 。定义（x→y）的三阶交叉矩（third-order cross-moment）为：

μ _xx，y （k，s）=E［（y _t -μ _y ）（x _t+y -μ _x ）（x _t+s -μ _x ）］

定义交叉双谱为

如果是单向二次关系，就可以解释该函数。例如，如果x _t 是Guassian输入序列，且：

其中：

R（j-k）=E［x _t-j x _t-k ］

定义：

Subba Rao和Nunes（1985）证明：

A（ω）=C _xy （ω）/s _x （ω）

和

注意如果x _t 为Guassian序列，一次项x _q-j 就与（2-12）的二次项x _t-j x _t-k 正交。最简单的非线性模型为：

y _t =∑α _i x _t-i +β _jk （x _t-j x _t-k -R（j-k））+ε _t

该式只有一个二次项，由（2-13）得到：

这样，原则上可以决定单个二次项的j、k阶滞后，但该例过于简单，没有多少实际价值，并且只有在y到x的系统没有反馈时，才存在该结果。数据充分时，值得利用双谱估计的方法检验非线性，但多数场合的双谱估计性质较差，难以解释，因此双谱并不是值得推荐的分析方法。 URJGU7kbmUqbv0JdyA14in0LQp6mEC+jZqJK1c/2HXTQIOX3WP7jxtdpMx1000Ab