第一章

大数字

1．你最大可以数到几？

有这么一个故事。两个匈牙利贵族决定玩一个游戏，谁说的数字最大，谁就是赢家。

其中一个人说：“好吧，那你先说。”

另一个人苦思冥想了好几分钟，终于给出了他能想到的最大数字。

“3。”他说。

现在轮到第一个人绞尽脑汁地思考了。然而，一刻钟之后，他还是无奈放弃了。

“你赢了。”他输得心服口服。

故事中，这两个匈牙利贵族的头脑可真是不怎么灵光 ，而且，没准整个故事就是一个不怀好意的玩笑。不过，如果主角不是匈牙利人，而是非洲南部的霍屯督人（Hottentot） ，这样一通对话或许真的有可能发生。一些非洲探险家们能够证实，许多霍屯督人的词汇表里，根本就没有3以上的数字。假设你去问一个当地土著，他有几个儿子，杀死过几个敌人，如果这个数字比3大，他就会说：“有很多。”所以说，在数数这门技艺上，哪怕是霍屯督部落里最勇猛的战士，也比不过美国幼儿园里的孩子，毕竟孩子们还能从1数到10呢！

如今，人们都习惯性地认为，只要我们愿意，无论多大的数字，我们都可以写出来。无论它是以美分来计算的军费支出，还是以英寸来衡量的星际距离，只要在某个数字的右边加上足够多的“0”就可以了。你可以一直写下去，直到手酸，甚至没有意识到自己写下的数字比宇宙里所有原子的总数还多 。顺带一说，宇宙里的原子总数大约是：

300,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,0 00,000,000,000,000,000个。

你也可以用更简洁的形式，表示成：3×10 ⁷⁴ 。这个位于10右边、小小的上标数字74就是你要写出来的0的个数，换句话说，这个数等于3乘以74个10。

不过古人们尚未了解这种“简单算术系统”，事实上，这种方法是由某些未能留下姓名的印度数学家发明出来的，存在了还不到2000年。尽管人们常常忽略，但这个发明确实具有划时代的意义。此前，人们书写数字时，会用一个特定的符号来表示每一个数位（现在我们称之为十进制单位），每个数位上的数字是几，就重复这个符号几次。举个例子，数字8732用古埃及文字表示就是：

在恺撒时代，行政部门的书记员会把这个数记为：

MMMMMMMMDCCXXXII

你对后一种记数方法一定不陌生，因为人们现在还会经常使用罗马数字——用它来表示书的卷数、章数，或是用它在宏伟的纪念碑上记录历史事件的日期。不过，因为古人的记数需求不超过几千，所以更高的十进制单位的符号并不存在。一个古罗马人，无论受过何等良好的数学训练，如果要他写下“一百万”这样一个数字，他也一定会不知所措。真要答应这个请求，他得花上好几个小时，不停歇地写出1000个M才行（图1）。

对古人来说，特别大的数字，比如天上的星星、海里的鱼、海岸的沙都是“无法计算”的，就像是对霍屯督人来说，“5”就是无法计算的，只能用“许多”来表示。

公元前3世纪，著名的科学家阿基米德（Archimedes）曾花费了极大的脑力证明，写出特别大的数字完全是有可能的。他在论文《数沙器》（ The Psammites 或叫 Sand Reckoner ）中写道：

“有些人认为，沙粒的数目有无穷多个。我所说的，不但包括锡拉丘兹（Syracuse）和西西里上的沙粒，还包括地球上所有地方的沙子，无论那里是否有人居住。另外，还有一些人认为，这个数字并不是无穷大，但是却无法写出比地球上所有沙粒的数量还大的数字。显然，对于持后一种观点的人来说，如果让他们想象一座和地球等大的沙球，在里面将与地球上大海、洞穴在内的相对应的位置都装满沙子，一直堆到全世界最高的山那么高，那么，他们就更加确信，再也没有什么数字能比这里面的沙子总数还要大。不过，我想说的是，我不但能够表示出像地球这么大的沙球中沙粒的数目，哪怕是像宇宙这么大的沙球，我也能写出里面的沙子数。”

阿基米德在这篇著名的文章中提出的表示大数的方法，和现代科学中的大数记数法十分类似 。他从古希腊算术中最大的数字“一万”（myriad）开始，接着引入一个新数“一万万”，他称之为“亿”或“二级单位”。接下来是“亿亿”，它被称为“三级单位”，再然后是“亿亿亿”，被称为“四级单位”，依此类推 。

用现在的眼光来看，专门花几页的篇幅来讨论如何书写大数确实有些琐碎，但在阿基米德的时代，找到记录大数的方法确实是一个了不起的发现，数学也由此向前迈出了重要的一步。

想要表示出填满整个宇宙的沙粒总数，阿基米德就必须要知道宇宙有多大。当时的人们相信，整个宇宙被封装在一个镶嵌着星星的水晶球里。而根据阿基米德同时代的天文学家，萨摩斯的阿利斯塔克斯（Aristarchus of Samos）的估算，从地球到这个宇宙水晶球表面的距离是10,000,000,000脚尺，也就是1,000,000,000英里左右 。

阿基米德把这个天球的大小和沙粒的大小进行了比较，完成了一系列复杂到足以令高中生做噩梦的计算，最后得出以下结论：“很显然，按照阿利斯塔克斯估算的天球尺寸，里面可以装入的沙粒总数不会超过一千万个第八阶单位。” ^[1]

你或许已经留意到，阿基米德估算的宇宙半径比现代科学家所认为的要小得多。 10亿英里的距离根本出不了太阳系，只能到达土星 。我们稍后将会看到，用现代望远镜探测到的宇宙距离已达到5,000,000,000,000,000,000,000（即5×10 ²¹ ）英里 ^[2] ，所以说，想要填满所有已知的宇宙空间，所需要的沙粒数必然会超过10 ¹⁰⁰ （1后面100个0）个。

这个数目比本章开头说的宇宙中的原子总数3×10 ⁷⁴ 明显要大得多，但不要忘记，宇宙里并不是塞满了原子。实际上，每立方米的空间里平均只有大约1个原子。

不过，为了得到特别大的数字，我们根本不需要做这么夸张的事情，比如用沙粒填满整个宇宙。实际上，一些乍看上去非常简单的问题也会得出超乎寻常的大数，而人们期望中的答案却只有几千而已。

印度的舍罕王（King Shirham）就在大数上吃过亏。根据古老的传说，宰相西萨·班·达依尔（Sissa Ben Dahir）发明了国际象棋，并将它呈献给了舍罕王。为此，国王想要给他奖赏。聪明的宰相提出了一个听上去十分谦逊的请求。“陛下，”他跪在国王面前说，“请在这张棋盘的第一个格子上放一粒小麦，第二个格子放两粒，第三个格子四粒，第四个格子八粒。每一个格子上的小麦数量都是前一个格子上的两倍，就像这样填满64个棋格。陛下，这就是我向您请求的赏赐。”

“噢，我忠实的臣子，你要的并不多啊。”国王赞赏道。国际象棋真是个神奇的游戏，一想到给游戏的发明者许下了慷慨的承诺，却又无须为此花费太多，国王就不禁窃喜。“你一定会得偿所愿的。”他命人将一袋小麦送至他的王座旁。

开始清点麦粒了。先是在第一个格子上放1粒，第二个格子2粒，第三个格子4粒……还没到放第20个格子，一整袋小麦就用完了。国王命人拿来了更多袋小麦，但是装满每一个格子的麦粒数目都在飞速增长。很快，国王意识到，哪怕用光全印度的小麦，自己也无法兑现这个承诺。因为要装满整个棋盘，一共需要18,446,744,073,709,551,615粒小麦 ^[3] ！

这个数字虽然没有宇宙中的原子总数那么大，但也相当大了。假定1蒲式耳 小麦大约有5,000,000粒，要满足西萨·班·达依尔的请求，就需要4万亿蒲式耳的小麦。考虑到全世界的小麦平均年产量约为2,000,000,000蒲式耳，这位宰相请求赏赐给他的麦粒，大约是全世界2000年生产的小麦总额！

因而，舍罕王很快就会发现自己欠了宰相一大笔债。他要么背上这笔永远也还不完的债务，要么直接砍下宰相的脑袋。我怀疑他很有可能选择了后一种。

另一个和大数有关的故事也来自印度，是一个有关“世界末日”的问题。热爱数学的历史学家W. W. R．鲍尔（W. W. R. Ball）为我们讲述了这个故事 ^[4] ：

“贝拿勒斯大神庙里，有一块标记为世界中心的穹顶。下面放置着一块铜板，板上固定着3根金刚石针，每根针约1腕尺高（1腕尺大约是20英寸），和蜜蜂的躯干差不多粗。神在创世之时，在其中一根针上串64个纯金的圆盘，最大的一块放在铜板上，其他圆盘依次叠放在上面，盘身越来越小。这就是梵天之塔。无论昼夜，当值的僧侣永不停歇地把圆盘从其中一根金刚针移到另一根上面。依据梵天亘古不变的永恒法则，僧侣每次只能移动一个圆盘，而且他必须把这些圆盘移到石针上，同时不允许较大的圆盘下面出现较小的圆盘。当所有64个圆盘从神创世的那根针上完全转移到另一根针上时，塔、神庙、婆罗门……万事万物都将碎裂成尘，在霹雳声中，世界化为乌有。”

图3描绘了故事中的场景，只是图中的圆盘数量要少于64个。你可以自己制作这个益智玩具，就用普通的圆形硬纸板代替金色的圆盘，用长长的铁钉代替印度传说中的金刚石针。根据移动的规则，我们不难发现，移动每一个圆盘所需的次数都比上一个翻了一倍。第一个圆盘只需移动一次，但是接下来每一个圆盘的移动次数都会呈几何级数增长。移动完 64 个圆盘的次数，就和西萨·班·达依尔索求的麦子数量一样多 ^[5] ！

把这座梵天之塔中的64个圆盘全部从一根针转移到另一根上，需要多长的时间？假设僧侣们不分昼夜、不眠不休地工作，且每一秒钟就能移动一次。一年大约有31,558,000秒 ，所以完成这项工作至少需要58万亿年的时间。

如果我们把这个传说中的“宇宙寿命”和现代科学的预测值进行比较，无疑是很有意思的。根据目前的宇宙演化理论，恒星、太阳以及包括地球在内的行星是在大约30亿年前，由无定型的物质形成的。我们还知道，为恒星——特别是为我们的太阳——提供能量的“原子燃料”可以再维持100亿年或150亿年（参见第十一章“创世时代”）。因此， 宇宙的总寿命肯定短于200亿年，而不是像印度传说中预计的那样有58万亿年那么长！ 不过，这毕竟只是一个传说！

在迄今所有的文献中提到的最大数字，大概出自著名的“印刷行数问题”。假设我们能够制造出一台可持续工作的印刷机，这台机器打印出的每一行内容，都是自动选择出来的字母和其他符号的不同组合。这样一台机器内装有多个独立的轮盘，每个轮盘的边缘刻有整套字母和符号。这些轮盘组合起来的运动方式，就像汽车的里程表那样：如果一个轮盘转满一圈，旁边的轮盘就会前进一位。每移动一次，纸张就会经由滚筒被自动送入机器，印出字条。制造这样一台机器并不难，图4就是它的示例图。

现在我们启动机器，来看看它印出来的无穷无尽的字条上面写了些什么。绝大多数字条上的文字毫无意义，比如说：

“aaaaaaaaaaa…”

或是

“boobooboobooboo…”

再或者是：

“zawkporpkossscilm…”

不过既然这台机器印出了所有字母和符号组合，在一大堆连不成句的字符中，确实也能找到有意义的句子。其中有些句子的语义是无效的，比如：

“horse has six legs and…”（马有六条腿和……）

或是

“I like apples cooked in terpentin…”（我喜欢松节油煎过的苹果……）

如果继续找下去，我们还能找到莎士比亚写过的每一行句子，甚至是那些被他扔进垃圾桶里的句子！

实际上，这台机器会印出人们自学会写作以来所写下的所有东西：每一行散文、诗歌，每一篇报纸社论、广告，每一卷冗长的科学论文，每一封情书，还有写给送奶工的每一张便条……

此外，这台机器还会印出一切即将出版的作品。从滚筒印刷的纸卷上，我们可以找到30世纪的诗歌、未来的科学发现、美国第500届国会的演讲稿，还有2344年星际交通事故的记录单。还会有数不清的短篇、长篇小说，这些都是人类从未写出来的作品，出版商只要在地下室里放上这样一台机器，从一大堆垃圾中找出好的作品，拿来编辑就可以了——其实他们现在也是这么做的。

人们为什么没有这么做呢？

好吧，让我们来算算这台机器要打印多少行，才能把所有可能的字母和符号的组合全都呈现出来。

英语字母表里有26个字母，10个数字（0,1,2, ……,9），还有14个常用符号（空格、句号、逗号、冒号、分号、问号、感叹号、破折号、连字符、引号、省略号、小括号、中括号、大括号），加起来共有50个符号。假设这台机器有65个轮盘，也就是说每一行可以印65个字符，那么每一行印刷出来的第一个字符就有50种可能性，对应其中一种可能性，第二个字符也有50种可能性，这样前两个字符就有50×50=2500种可能性。在前两个字符选定的情况下，第三个字符又可以在50种符号中任意选择，依此类推。每一行可能出现的排列组合的总数可以记为： 次，或是50 ⁶⁵ 次，这个数近似等于10 ¹¹⁰ 。

想要感受这个数字到底有多大，不妨假设宇宙中的每个原子都是这样一台印刷机，这样一来，我们就有3×10 ⁷⁴ 台机器在同时运转。哪怕所有这些机器从宇宙诞生之初（即30亿年前，或10 ¹⁷ 秒前）就以原子振动的频率（每秒10 ¹⁵ 次）进行印刷。那么，到现在为止，我们能够印出来的行数也只有：

3×10 ⁷⁴ ×10 ¹⁷ ×10 ¹⁵ =3×10 ¹⁰⁶

这不过是所有可能性的三千分之一左右。

没错，就算是从这些自动印刷的材料中挑些东西出来，都得花上相当长的时间！

2．如何数出“无穷大”？

上一节中我们讨论了数字，其中有不少都是相当大的数。不过，即便是大到不可思议，就像西萨·班·达依尔要求的麦粒数目那么大，这些数字仍然是有限的。只要给足时间，人们就可以把这些数字从头到尾写下来。

不过，还有一些具有无穷性的数，无论花多少时间都写不完。例如， “所有整数的数量”显然是无穷大的，“一条线上所有几何点的个数”亦是如此。 对于这样的数，我们除了说它们是无穷大的以外，还可以尝试其他的描述吗？换句话说，有没有可能比较两个不同的无穷数，看看哪一个“更大”？

“所有整数的个数和一条线上所有几何点的个数相比，哪一个更大”——这样的问题有意义吗？著名的数学家格奥尔格·康托尔（Georg Cantor）最先考察了这个乍看上去有点天马行空的问题，他是“无穷数学”当之无愧的开创者。

想要谈论无穷数的大小，就会有一个问题随之而来：我们既没法表示这些数字，也无法把它们写下来。这就有点儿像一个正在清点自己百宝箱的霍屯督人，他想知道自己手里的玻璃珠子多，还是铜币更多。相信你还记得，霍屯督人无法数出3以上的数字，那么，他会不会因为数不出珠子和铜币各自的数量，就放弃比较这两个数的大小呢？不一定。如果他足够聪明，就会把珠子和铜币逐一比较直至得出答案：把一颗珠子摆在一枚铜币边上，另一颗珠子摆在另一枚铜币边上，就这样摆下去。如果珠子用完了，铜币还剩下几枚，他就会知道，铜币比珠子更多；如果铜币用完了，还有几颗珠子，那么就是珠子比铜币多；如果两者同时用完，那就是一样多。

康托尔在比较无穷数时，用的也是完全相同的办法： 把两组无穷数进行配对，如果这两个集合里的每一个元素都能一一对应，最后没有任何元素剩下，那么这两组无穷数就是相等的；如果其中一个集合里的有元素无法配对，那么就可以说，这组无穷数要比另一组更大一些，或者说更强一些。

这个方法无疑是可行的，事实上，要比较无穷大的数字，也只有这个法子了。不过，在真正开始采用这个方法之前，我们得做好大吃一惊的心理准备。比如说，我们来比较一下所有的奇数和偶数这两个无穷数集合。从直觉上判断，你肯定会觉得奇数和偶数一样多，而且它们也完全符合上述的规则，二者可以做到一一对应：

在这个表里，每一个奇数都对应着一个偶数，反之亦然。因此，奇数和偶数是大小相等的无穷数。看上去很简单，也很自然！

不过，稍等一下。下面这两个数，你觉得哪个更大：所有整数的数量（包括所有的奇数和偶数），还是所有偶数的数量？你当然会选择前者，因为它既包括了全部的偶数，也包括了全部的奇数。但这只是你的直觉而已。想要得到准确的答案，就必须应用无穷数比较的规则。如果你真的这么做了，就会吃惊地发现自己的直觉是错的。实际上，所有的整数和所有的偶数也可以放在如下这个表中，实现一一对应：

依照无穷数比较的规则，我们只能得出如下结论： 所有的偶数和所有的整数个数完全相等 。当然，这听起来有点自相矛盾，因为偶数只是整数的一部分，但是必须要记住，我们在这里计算的是无穷数，它们的性质会不太一样。

没错， 在无穷数的世界里，部分确实有可能等于整体！ 最好的一个例证，莫过于德国数学家大卫·希尔伯特（David Hilbert）讲的一个故事。他在课堂上的这段话描述了无穷数的矛盾属性 ：

“我们来想象一个旅馆，它的房间数量是有限的，而且所有房间都住满了人。假如有一个新客要求入住，那么老板会说：‘抱歉，所有房间都住满了。’再来想象另一家旅馆，这里有无穷个房间，同样，每一个房间里都住上了人。这时又有新客来访，要求入住。

“‘没问题！’旅馆老板会立刻答应下来，并把之前住在一号房的客人移到二号房，二号房的客人移到三号房，三号房的客人移到四号房，依此类推……这样，新客就可以住进调整后空置出来的一号房里了。

“我们再换个方式，想象一个同样有无穷多个房间的旅馆。所有的房间都客满，并且有无穷多个新客要求入住。

“‘好的，先生们，请稍等。’旅馆老板说道。

“紧接着，老板把一号房的客人移到二号房，二号房的客人移到四号房，三号房的客人移到六号房……以此调整。

“现在，所有门牌号是奇数的房间全都空置了，无穷多个新客人就可以轻松入住进去了。”

希尔伯特描述的这个场景可能不太容易想象，毕竟现在不是战时的华盛顿，没有那么多要住店的客人。不过这个例子很好地说明了在进行无穷数的运算时，我们会遇到一些和普通算术不太一样的运算属性。

依据康托尔的无穷数比较规则，我们还可以证明，所有分数（如 ， ）和所有整数的个数是相等的。我们可以按照如下的规则，把所有分数排成一排：先写出分子和分母之和等于2的分数，这样的分数只有一个，即 ；再写出分子和分母之和等于3的分数，即 和 ；接下来是分子和分母加起来等于4的分数，包括 和 ……，以此类推。按照这个步骤，我们会得到一个包含了所有分数的无限数列（图5）。现在，在这个数列旁边写出整数的数列，就可以实现无穷多个分数和无穷多个整数的一一对应。所以说，它们的数量是相等的！

你可能会说：“听上去不错。不过，这不就意味着，所有的无穷数都是一样大的吗？如果是这样，比较它们的大小还有什么意义呢？”

不，事情当然没有那么简单。人们可以很容易地找出比所有的整数或分数的个数还要大的无穷数。

现在回过头来，研究一下本章开头提出的问题。“一条线上所有点的个数”和“所有整数的个数”，到底谁大谁小？你会发现，这两个无穷数的大小确实是不同的——一条线上的点的个数要比所有的整数或分数个数要多得多。为了证明这一点，我们试着在一条线段上（比如说1英寸长），建立点和整数数列之间的一一对应关系。

线段上的每一个点都可以表示为它与线段某端间的距离，而且这段距离都可以记作一个无限小数，比如0.7350624780056……，或0.38250375632…… 。现在我们就可以来比较所有整数和这些无限小数的个数了。那么，上面这些无限小数，和像 这样的分数，又有怎样的区别呢？

大家一定还记得，我们在数学课上学过， 每一个普通分数都可以转化成无限循环小数， 比如 ， 。我们上面已经证明过， 所有普通分数的个数和所有整数的个数是相同的，因此，所有循环小数的个数和所有整数的个数也是相同的。 但是，一条线段上的点不可能完全表示成无限循环小数，而且大多数情况下，这些无限小数是不循环的。很容易看出来，在这种情况下，两个数列无法建立一一对应的关系。

假如有人声称，他能建立如下形式的对应关系：

当然，因为我们不可能写出无限不循环小数的每一位数，所以这张表的作者必定已经找到了某种一般性的规则（类似于我们将分数和所有整数进行配对的规则），并且按照这种规则构造了上面这个表，这种规则确保，我们所能想到的任何一个小数迟早都会出现在这张表里。

然而，不难证明，没有一种排列法则可以保证这样的事，因为我们总是可以写出一个没有出现在这个表里的无限不循环小数。如何办到的？再简单不过了。只要让这个数的小数点后第一位数字和表里的一号数字（N1）的小数点后第一位不同，第二位数字和N2的小数点后第二位不同，依此类推，就会得到一个类似下面这样的数字：

这样的话，无论你往下找多久，这个数字都不会出现在这个表里。如果这张表的作者告诉你，你写下的这个小数就在第137行（也可以是其他任意一行），那么你可以立刻告诉他：“不可能，因为这两个数在小数点后第137位上的数字是不同的。”

因此，一条线上的点的个数和整数的个数之间，无法建立一一对应的关系，这意味着， 一条线上的点的个数比所有整数或分数的个数更大，或者说更强。

我们一直在讨论“1英寸长的线段”上点的个数，不过，根据“无穷数学”规则，很容易证明上述结论对任何一条线段上的点都适用，也就是说， 无论是1英寸、1英尺，还是1英里，这些线段拥有的点的数目都是相等的。 想要证明这一点，只要看一下图6就可以。图上比较了两条长度不相等的线段AB和AC上的点的个数。为了在两条线之间建立一一对应的关系，我们从AB上的每一点出发，做一条平行于BC的线，并将它与两条线的交点进行配对，例如D和D1、E和E1、F和F1等。如此一来，AB上的每一个点在AC上都有点与之对应，反之亦然。因此，根据我们的规则，这两条线段拥有的点的数量是相等的。

在探索无穷大数的过程中，我们还有一个出人意料的发现： 一个平面上的所有点的数量和直线上点的数量竟然是一样的！ 为了论证这一点，我们来考察线段AB（长度为1英寸）上面的点，和正方形CDEF内的点（图7）。假设线段AB某个位置上的点均可以用某数字来表示，比如说 0.75120386……，那么，我们可以由这个数字确定两个不同的数字，取小数点后的奇数位和偶数位重新组合，即0.7108……和0.5236……。

图6

图7

接下来，我们分别以这两个数字为横坐标和纵坐标的值，在正方形中寻找到对应的点，并把这个点称为此前线段上点的“对应点”。反过来，如果我们知道正方形里任何一个点的横坐标和纵坐标，打个比方，比如说0.4835……和0.9907……，通过相同的规则合并这两个数字，也可以得到它的“对应点”在线段上的位置：0.49893057……。

很显然，通过上述的步骤，两组点之间建立起了一一对应的关系。线上的每一个点都能在正方形里找到它的对应点，而正方形里的每一个点也能在线上找到对应。没有任何一个点会被遗漏。依照康托尔的规则，我们可以得出结论：正方形里所有点的数量等于线段上的所有点的数量。

使用类似的方法，也很容易证明，立方体内所有点的数量等于正方形或直线上点的数量。我们只需要把原来的小数拆分成三个新的数字 ，然后用这三个数来定义立方体内“对应点”的位置即可。此外，就像两条长度不同的线段中，点的数量是相等的一样，无论正方形或立方体的大小如何，其中点的数量也不会改变。

虽然所有几何点的数量比所有整数或分数的数量要大，但它还不是数学家们已知的最大的无穷数。事实上，人们发现， 所有曲线的种类，包括那些最不同寻常的曲线，要比所有几何点的数量还要多，因此，必须要用无穷数列的第三个数来描述它。

根据“无穷数学”的开创者格奥尔格·康托尔的定义，无穷数可以用希伯来字母 （aleph）表示，其右下角有一个数字，表示它在无穷数列中的位置。由此，我们可以得到一个数字的序列（其中也包括无穷大数）：

1,2,3,4,5…… ₀ , ₁ , ₂ , ₃ ……

当我们说“一条线上有 ₁ 个点”，或“存在 ₂ 条不同的曲线”时，就和我们在说“世界分为七大洲”或“一盒纸牌有52张牌”时，没什么两样。

在结束有关无穷数的讨论之前，我们需要指出，虽然这些无穷数只分了几级，但是却包含了我们能想到的所有无穷大数。我们知道， ₀ 代表所有整数的个数， ₁ 代表所有几何点的数量， ₂ 代表所有曲线的数量，但是迄今为止，还没有人能够想出用来描述 ₃ 的集合。看来，前三个无穷大数就足以囊括我们所能想到的任何数字，这和我们的老朋友霍屯督人的处境刚好相反：他们明明拥有很多孩子，却最多只能数出三个！

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[1] 用我们现在熟悉的记数方法表示，这个数字是：一千万 第二阶单位 第三阶单位 第四阶单位（10,000,000）×（10,000,000）×（10,000,000）×（10,000,000）×第五阶单位 第六阶单位 第七阶单位 第八阶单位（10,000,000）×（10,000,000）×（10,000,000）×（10,000,000），或是简单记为10 ⁶³ （即1后面63个0）。

[2] 根据2018年的观测数据，宇宙的观测半径在470亿光年左右，折合成英制约为3×10 ²³ 英里。——译注

[3] 聪明的宰相要求的麦粒数可以写作：1+2+2 ² +2 ³ +2 ⁴ +……+2 ⁶² +2 ⁶³ 。代数里将一系列以相同倍数（这个故事中的倍数是2）依次递增的数字叫作等比数列。可以证明，等比数列中所有数字之和，等于公比（此处是2）的项数次幂（此处是64）减去第一项（此处是1），再用这个结果除以公比减去1而得到的数。可以表示为： ，得出结果就是18,446,744,073,709,551,615。

[4] 摘自W. W. R．鲍尔，《数学游戏与欣赏》（ Mathematical Recreations and Essays ，麦克米伦出版公司，纽约，1939）。

[5] 如果我们只有7个圆盘，需要移动的次数就是：1+2+2 ² +2 ³ +……2 ⁶ ，或是2 ⁷ -1=2×2×2×2×2×2×2-1=127。如果移动的速度足够快，且中间没有犯错，完成这项任务大概需要一个钟头。如果是64个圆盘，所需的移动总次数就是：2 ⁶⁴ -1=18,446,744,073,709,551,615次，这与西萨·班·达依尔要求的麦子数目一样多。 g5XQEYpOV6FWeQ/DZWcOVCdiCcd2N2ECysZ64vRWspRNSXtR5kyVkyK74uHx45+r