第一节
矩阵的概念与运算

思考问题

生产 m 种产品需用 n 种材料，如果以 a _ij 表示生产第 i 种产品（ i =1，2，…， m ）耗用第 j 种材料（ j =1，2，…， n ）的定额，则消耗定额可以用一个矩形表来表示：

这个表也可以简单地表示为 m 行 n 列的数表：

这个矩形数表描述了生产过程中产出的产品与投入材料的数量关系，我们把它称为矩阵。一般地，我们给出矩阵的定义如下：

一、矩阵的基本概念

定义2.1.1 由 m×n 个数 a _ij （ i =1，2，…， m ； j =1，2，…， n ）排列而成的 m 行 n 列的矩形数表

称为 m 行 n 列 矩阵 ，数 a _ij 称为矩阵的第 i 行第 j 列的元素，通常用大写黑斜体字母 A ， B ， C 等表示矩阵，一个 m 行 n 列矩阵可简记为 A _m×n 或 A =（ a _ij ） _m×n 。

1.特殊矩阵

（1） 零矩阵 元素全为零的矩阵称为零矩阵，零矩阵记为 O _m×n 或 O 。

（2） 行矩阵 、 列矩阵

只有一行的矩阵（ a ₁ a ₂ … a _n ）称为行矩阵；

只有一列的矩阵 称为列矩阵。

（3） 方阵 行数与列数都等于 n 的矩阵称为 n 阶方阵，记作 A _n .元素 a ₁₁ ， a ₂₂ ，…， a _nn 构成方阵 A _n 的主对角线。

（4） 单位矩阵 主对角线上的元素全是1，其余元素全是零的 n 阶方阵，称为 n 阶单位矩阵，记作 E _n 或 E .如：

2.矩阵的关系

（1） 同型矩阵 行数相等且列数也相等的两个矩阵称为同型矩阵。

（2） 矩阵相等 若两个同型矩阵 A =（ a _ij ） _m×n 与 B =（ b _ij ） _m×n 的对应元素相等，即：

a _ij =b _ij （ i =1，2，…， m ； j =1，2，…， n ），

则称矩阵 A 与矩阵 B 相等，记作 A = B 。

二、矩阵的运算

1.矩阵的加法和减法

定义2.1.2 对于两个同型矩阵 A =（ a _ij ） _m×n 与 B =（ b _ij ） _m×n ，规定矩阵 A 与矩阵 B 的和为：

例如：设 ，则

设 A ， B ， C ， O 都是 m 行 n 列矩阵，不难验证矩阵的加法满足以下运算规则。

（1）交换律： A + B = B + A ；

（2）加法结合律：（ A + B ）+ C = A +（ B + C ）；

（3）零矩阵满足： A + O = A ；

（4）存在矩阵 A 的负矩阵：- A =（- a _ij ） _m×n ，满足： A +（- A ）= O 。

由此规定矩阵减法为： A - B = A +（- B ）。

2.矩阵的数乘

定义2.1.3 设矩阵 A =（ a _ij ） _m×n ， λ 为任意实数，则称矩阵 C =（ c _ij ） _m×n 为数 λ 与矩阵 A 的乘积，其中 c _ij =λa _ij （ i =1，2，…， m ； j =1，2，…， n ），记为： C=λA 。

对数 k ， l 和矩阵 A =（ a _ij ） _m×n 与 B =（ b _ij ） _m×n ，满足以下运算规则。

（1）数对矩阵的分配律： k （ A + B ） =kA +kB ；

（2）矩阵对数的分配律：（ k+l ） A =kA +lA ；

（3）数与矩阵的结合律：（ kl ） A =k （ lA ） =l （ kA ）；

（4）数1、数0与矩阵乘法满足：1 A = A ;0 A = O 。

小试牛刀

例2.1.1 设 ，求 A +2 B 和 B -3 A 。

解

3.矩阵的乘法

某地区甲、乙、丙三家商场同时销售两种品牌的家用电器，如果用矩阵 A 表示各商场销售这两种家用电器的日平均销售量（单位：台），用矩阵 B 表示两种家用电器的单位售价（单位：千元）和单位利润（单位：千元）

用矩阵 C =（ c _ij ） _{3 × 2} 表示这三家商场销售两种家用电器的每日总收入和总利润，那么 C 中的元素分别为

即

其中，矩阵 C 中的第 i 行第 j 列的元素是矩阵 A 的第 i 行元素与矩阵 B 的第 j 列对应元素的乘积之和。

定义2.1.4 设矩阵 A =（ a _ij ） _m×s 与 B =（ b _ij ） _s×n ，规定矩阵 A 与矩阵 B 的乘积为一个 m 行 n 列的矩阵 C =（ c _ij ） _m×n ，记作 AB = C =（ c _ij ） _m×n ，其中

小试牛刀

例2.1.2 设 ，求 AB 。

例2.1.3 设 ，求 AB 和 BA 。

解 由矩阵乘法有 ，

设 A ， B ， C 都是矩阵， k 为数，则矩阵乘法满足下列运算规律（假设运算都是可行的）。

（1）结合律（ AB ） C = A （ BC ）， k （ AB ）=（ kA ） B = A （ kB ）；

（2）分配律 A （ B + C ）= AB + AC ，（ A + B ） C = AC + BC ；

（3） A _n E _n = E _n A _n = A _n ， A _n O _n = O _n A _n = O _n .

大展身手

例2.1.4 设 ，求 。

解 ，

4.矩阵的转置

定义2.1.5 把一个 m 行 n 列的矩阵

的行换成相应的列得到的 n 行 m 列矩阵，称为 A 的 转置矩阵 ，记作 A ^T ，即

矩阵的转置满足下列运算规则（假设运算都是可行的）。

（1）（ A ^T ） ^T = A ；

（2）（ A + B ） ^T = A _T + B ^T ；

（3）（ λA ） ^T =λA ^T （ λ 为数）；

（4）（ AB ） ^T = B ^T A ^T 。

小试牛刀

例2.1.5 设矩阵 ，验证矩阵 。

解 ，

且

所以 。

定义2.1.6 设 A 为 n 阶方阵，如果 A _T = A ，则称 A 为 对称矩阵 。

例如：

均为对称矩阵。

5.方阵的行列式

定义2.1.7 设矩阵 A 为 n 阶方阵，按 A 中元素的排列方式所构成的行列式

称为 方阵 A 的行列式 ，记作| A |或det A 。

设 A 与 B 为 n 阶方阵， λ 为数，方阵的行列式满足如下规律：

小试牛刀

1-2321-3 例 2.1.6 设矩阵 A = 求 和 。

习题2.1

小试牛刀

2 1.设 ，求 。

2.设 ，求 。

3.设 ，求出3| A |和|3A|，找出|3A| 和 |A|满足的关系式。

4. ，求出 AB 与 BA 。

5.计算下列矩阵的乘积：

大展身手

6.举例说明下列命题是错误的。

（1）若 A _² = O ，则 A = O ；

（2）若 A _² = A ，则 A = O 或 A = E ；

（3）若 AX = AY ，且 A ≠ O ，则 X = Y 。

7.设 ，试求所有与 A 可交换的，即满足条件 AX = XA 的矩阵 X 。 uQDlSLD3CoxVW2a//amLef+R9Rgl2NNCdY8cIHfG60SuFGYAI7geMjYQcFCz7YtQ