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思考问题
我国明代数学家程大位的名著《算法统宗》里有一道著名算题：
“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”意思是有100个和尚分100个馒头，正好分完；如果大和尚一人分3个，小和尚3人分一个，试问大、小和尚各几人？
设大、小和尚各有 x 、 y 人，则可以列方程组
根据第一节的知识可以利用二阶行列式解此方程组
记
这就是克莱姆法则最简单的应用。本节介绍利用 n 阶行列式求解 n 元线性方程组的方法，它是利用二阶行列式求解二元线性方程组的推广。
给定含有 n 个未知量， n 个方程的线性方程组
当 b 1 ， b 2 ，…， b n 至少一个不为零时，称方程组（1-1）为 n 元非齐次线性方程组。
由方程组（1-1）各未知量的系数构成的行列式
称为方程组（1-1）的 系数行列式 。用常数 b 1 ， b 2 ，…， b n 替换 D 中第 j 列所得行列式记为 D j ，即
定理1.3.1 （ 克莱姆法则 ） 如果 n 元线性方程组（1-1）的系数行列式 D ≠0，则方程组（1-1）有 唯一解
即
小试牛刀
例1.3.1 解线性方程组
所以由克莱姆法则，方程组有唯一解
在方程组（1-1）中，当 b 1 ， b 2 ，…， b n 全为零时，称方程组为 n 元齐次线性方程组 ，其一般式为
当 x 1 =x 2 =… =x n =0时，必定满足方程组（1-2）的每个方程，所以方程组（1-2）必定有解，并且称 x 1 =x 2 =… =x n =0是方程组（1-2）的零解。这说明方程组（1-2）必定有零解。于是对于方程组（1-2）来说，重要的是它是否有非零解，即不全为零的解。由克莱姆法则可得以下推论。
推论1.3.1 若 n 元齐次线性方程组（1-2）的系数行列式 D ≠0，则该方程组只有零解。
推论 1.3.2 n 元齐次线性方程组（1-2）有非零解的充分必要条件是系数行列式 D =0
小试牛刀
例1.3.2 讨论齐次线性方程组
的解。
解 因为
所以，方程组只有零解。
用推论1.3.1来判断未知量个数和方程个数相等的齐次线性方程组是否有非零解非常方便。
例1.3.3 当 λ 取何值时，齐次线性方程组
有非零解。
解
因为
所以由推论1.3.2可知，当
D
=-5（
λ
-1）=0，即
λ
=1时，齐次线性方程组有非零解。
小试牛刀
1.利用克莱姆法则解下列线性方程组：
2.问 λ 取何值时，齐次线性方程组
有非零解。
行列式出现于线性方程组的求解，它最早是一种速记的表达式，现在已经是数学中一种非常有用的工具。
行列式的概念最早是由十七世纪日本数学家关孝和提出来的，1693年4月，莱布尼茨在写给洛比达的一封信中使用了行列式，并给出方程组的系数行列式为零的条件。同时代的日本数学家关孝和在其著作《解伏题元法》中也提出了行列式的概念与算法。
1750年，瑞士数学家克莱姆（G.Cramer，1704~1752）在其著作《线性代数分析导引》中，对行列式的定义和展开法则给出了比较完整、明确的阐述，并给出了现在我们所称的解线性方程组的克莱姆法则。稍后，数学家贝祖（E.Bezout，1730~1783）将确定行列式每一项符号的方法进行了系统化，利用系数行列式概念指出了如何判断一个齐次线性方程组有非零解。
总之，在很长一段时间内，行列式只是作为解线性方程组的一种工具使用，并没有人意识到它可以独立于线性方程组之外，单独形成一门理论加以研究。
在行列式的发展史上，第一个对行列式理论做出连贯的逻辑的阐述，即把行列式理论与线性方程组求解相分离的人，是法国数学家范德蒙（A-T.Vandermonde，1735~1796）。范德蒙自幼在父亲的指导下学习音乐，但对数学有浓厚的兴趣，后来终于成为法兰西科学院院士。特别地，他给出了用二阶子式和它们的余子式来展开行列式的法则。就行列式本身这一点来说，他是这门理论的奠基人。1772年，拉普拉斯在一篇论文中证明了范德蒙提出的一些规则，推广了他的展开行列式的方法。
继范德蒙之后，在行列式的理论方面，又一位做出突出贡献的就是另一位法国大数学家柯西。1815年，柯西在一篇论文中给出了行列式的系统的处理，其中主要结果之一是行列式的乘法定理。另外，他第一个把行列式的元素排成方阵，采用双足标记法；引进了行列式特征方程的术语；给出了相似行列式概念；改进了拉普拉斯的行列式展开定理并给出了一个证明等。
19世纪的半个多世纪中，对行列式理论研究始终不渝的作者之一是詹姆士·西尔维斯特（J.Sylvester，1814~1894）他是一个活泼、敏感、兴奋、热情，甚至容易激动的人，然而由于是犹太人的缘故，他受到剑桥大学的不平等对待。西尔维斯特用火一般的热情介绍他的学术思想，他的重要成就之一是改进了从一个 n 次和一个m次的多项式中消去x的方法，他称之为配析法，并给出形成的行列式为零是这两个多项式方程有公共根的充分必要条件这一结果，但没有给出证明。
继柯西之后，在行列式理论方面最多产的人就是德国数学家雅可比（J.Jacobi，1804~1851），他引进了函数行列式，即“雅可比行列式”，指出函数行列式在多重积分的变量替换中的作用，给出了函数行列式的导数公式。雅可比的著名论文《论行列式的形成和性质》标志着行列式系统理论的建成。由于行列式在数学分析、几何学、线性方程组理论、二次型理论等多方面的应用，促使行列式理论自身在19世纪也得到了很大发展。整个19世纪都有行列式的新结果。除了一般行列式的大量定理之外，还有许多有关特殊行列式的其他定理都相继得到。