第一节
行列式的概念

思考问题

中学阶段我们已经学会了求解简单的线性方程组。例如，设二元线性方程组

当 a ₁₁ a ₂₂ - a ₁₂ a ₂₁ ≠0时，用消元法可以求得上述方程组的解为：

如何更方便地记忆上述方程组的解呢？为此我们引入二阶行列式的概念。

一、二阶行列式

定义1.1.1

称为 二阶行列式 ，它由2 ² 个数构成，表示一个算式，其值为 a ₁₁ a ₂₂ - a ₁₂ a ₂₁ ，即

其中，数 a _ij （ i =1，2; j =1，2）称为行列式的元素。元素 a _ij 的第一个下标 i 称为行标，表明该元素位于第 i 行，第二个下标 j 称为列标，表明该元素位于第 j 列。

把 a ₁₁ 到 a ₂₂ 的对角线称为 主对角线 ， a ₁₂ 到 a ₂₁ 的对角线称为 副对角线 。

利用二阶行列式的定义，对于【思考问题】中的二元一次线性方程组

记

若 D ≠0，那么

小试牛刀

例1.1.1 求解二元线性方程组

解 因为

所以方程组的解为 D 7

二、三阶行列式

与二阶行列式类似，可以定义三阶行列式。

定义1.1.2

称为 三阶行列式 ，它由 3 ² 个数构成，表示一个算式，其值为 a ₁₁ a ₂₂ a ₃₃ + a ₁₂ a ₂₃ a ₃₁ + a ₁₃ a ₂₁ a ₃₂ - a ₁₁ a ₂₃ a ₃₂ - a ₁₂ a ₂₁ a ₃₃ - a ₁₃ a ₂₂ a ₃₁ ，即

小试牛刀

例1.1.2 计算三阶行列式

解 D =2 × （-2） × （-2）+（-1）×1 × （-3）+3×1×1-2×1×1-（-1）×1 × （-2）-3 × （-2） × （-3）=8+3+3-2-2-18=-8。

大展身手

例1.1.3 解方程

解 方程左端的三阶行列式

D =3 x ² +4 x +10-5 x -2 x ² -12= x ² - x -2，

由 x ² - x -2=0，解得 x ₁ =-1， x ₂ =2。

由二阶行列式和三阶行列式的定义，不难发现如下关系式。

定义 1 .1.3　称 为三阶行列式 D 中元素 的 余子式 ，记作 M ₁₁ ，即

类似地，分别记 a ₁₂ ， a ₁₃ 的余子式为

定义1.1.4 称

A _ij =（-1） ^{i + j} M _ij （ i =1，2，3; j =1，2，3）

为三阶行列式 D 中元素 a _ij （ i =1，2，3； j =1，2，3）的 代数余子式 。

因此，三阶行列式也可以表示为

这样，求三阶行列式的问题就可以转化为求二阶行列式的问题，这种求行列式的方法称为 降阶法 ，上面式子的右端称为按行列式 D 的第一行展开的展开式。

小试牛刀

例1.1.4 利用降阶法计算三阶行列式

解法1 按第一行展开

解法2 按第二列展开

三、 n 阶行列式

仿照二、三阶行列式，可以把行列式推广到一般情形。

定义1.1.5

称为 n 阶行列式 ，它由 n ₂ 个数构成，代表一个算式，其值为

①当 n =1时，规定 D =| a ₁₁ | =a ₁₁ ；

②当 n ≥2时，均可用降阶法计算，即行列式按任意一行（或列）展开，得

D =a _{i 1} A _{i 1} + a _{i 2} A _{i 2} +…+ a _in A _in （ i =1，2，…， n ）

或

D = a _{1 j} A _{1 j} + a _{2 j} A _{2 j} +…+ a _nj A _nj （ j =1，2，…， n ）。

例如 行列式， 中元素 的子式和子式余代数余分别是8 -1 -2 4

小试牛刀

例1.1.5 计算四阶行列式

解

例1.1.6 计算四阶行列式

解

大展身手

例1.1.7 计算 n 阶下三角行列式

解

例1.1.8 计算 n 阶上三角行列式

解

类似的，对角行列式

习题1.1

小试牛刀

1.计算下列行列式：

大展身手

2.解下列方程： INsdoO1ay+a19VJYRmTxOhFst/olULw+ZcAoCrA9Zm0vdB9aoynxxz0dsMM/7/lG