第四节
线性方程组解的讨论

思考问题

三国时期，数学家张丘建在《张丘建算经》中提出了“中国百鸡问题”：公鸡每只值五文钱，母鸡每只值三文钱，小鸡三只值一文钱，现在用一百文钱买一百只鸡，问：在这一百只鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？如果设公鸡有 x 只，母鸡有 y 只，小鸡有 z 只，根据题意可列出下列线性方程组

线性方程组的解的理论和求解方法是线性代数的核心内容，第一章中介绍的克莱姆法则有其局限性，只适用于讨论方程个数与未知量个数相同且系数行列式不等于零的 n 阶线性方程组。对于方程个数与未知量个数不同的线性方程组，如何判定解的存在性、解的组数以及求解？本节利用矩阵理论建立线性方程组理论，解决以上问题。

一、线性方程组的相关概念

有 n 个未知量的方程组：

称为 n 元线性方程组 ，其中 a _ij （ i =1，2，…， m ； j =1，2，…， n ）为第 i 个方程中 x _j 的系数， b _i （ i =1，2，…， m ）表示第 i 个方程的常数项。

矩阵

称为线性方程组（2-1）的 系数矩阵 。

当 b ₁ =b ₂ =… =b _m =0时，方程组（2-1）形式变为：

称方程组（2-2）为 齐次线性方程组 。

当 b ₁ ， b ₂ ，…， b m不全为0时，方程组（2-1）称为 非齐次线性方程组 。

矩阵

称为方程组（2-1）的 常数项列矩阵 。

矩阵

称为方程组（2-1）和（2-2）的 未知量列矩阵 。

非齐次线性方程组（2-1）的矩阵表示形式： AX = B 。

齐次线性方程组（2-2）的矩阵表示形式： AX = O 。

以上两种表示形式也可称为矩阵方程。

矩阵

称为方程组（2-1）的 增广矩阵 。

二、非齐次线性方程组解的讨论

通过利用消元法求解方程组来观察消元和初等行变换之间的关联。

小试牛刀

引例 解三元线性方程组

解

小试牛刀

例2.4.1 解非齐次线性方程组

解 对方程组的增广矩阵 A 施行初等行变换，得

由最简行阶梯形矩阵得到对应的同解方程组为

取未知量 x ₂ ， x ₄ 作为自由未知量，得原方程组的解为：

像上式这样含有自由未知量的解的表达式，称为 方程组的通解 。

例2.4.2 解非齐次线性方程组

对应的方程组中出现了方程“0=2”，因此原方程组无解。

定理 2.4.1 n 元非齐次线性方程组（2-1）有解的充要条件是系数矩阵 A 的秩 r （ A ）等于增广矩阵 的秩 r （ ），且

（1）当 r （ A ） =r （ ） =n 时，方程组（2-1）有唯一解；

（2）当 r （ A ） =r （ ）< n 时，方程组（2-1）有无穷多解。

推论 2.4.1 n 元非齐次线性方程组（2-1）无解的充要条件是系数矩阵 A 的秩与增广矩阵 A 的秩不相等。

大展身手

例 2.4.3 讨论 p ， q 为何值时，非齐次线性方程组

有解、无解，有解时求其通解。

解 对方程组的增广矩阵 A 施行初等行变换。

由此可见， r （ A ）=2，当

（1） p =0且 q - p -2=0时， r （ ）=2 =r （ A ），即 p =0且 q =2时，方程组有解，继续对方程组的增广矩阵 施行初等行变换化为最简行阶梯形矩阵。

得同解方程组

取未知量 x ₃ ， x ₄ ， x ₅ 作为自由未知量，得原方程组的通解为：

（2） p ≠0时， r （ ）≠ r （ A ），方程组无解；或 p =0且 q - p -2≠0，即 p =0且 q ≠2时， r （ ）≠ r （ A ），方程组无解，即 p ≠0或 p =0且 q ≠2时，原方程组无解。

根据上述所讲的求解非齐次线性方程组的方法可以来解决本节开头的【思考问题】，其未知量均为正整数，易求得其解为

三、齐次线性方程组解的讨论

齐次线性方程组（2-2）必定有解，因为 x ₁ =x ₂ =… =x _n =0就是它的一个解，这个解称为零解，其他的解称为非零解。所以，对于齐次线性方程组的解的讨论，就是讨论是仅有唯一的解，即零解；还是有无穷多解，即既有零解又有非零解。

定理 2.4.2 n 元齐次线性方程组（2-2）有非零解的充要条件是系数矩阵 A 的秩 r （ A ）< n 。

推论 2.4.2 n 元齐次线性方程组（2-2）只有零解的充要条件是系数矩阵 A 的秩 r （ A ） =n 。

证明从略。

小试牛刀

例2.4.4 解齐次线性方程组：

解 （1）利用矩阵的初等行变换化简方程组的系数矩阵为阶梯形矩阵：

r （ A ）=3 =n ，由推论2.4.2可知，该三元齐次线性方程组只有零解，即

（2）用矩阵的初等行变换化简方程组的系数矩阵为阶梯形矩阵：

r （ A ）=2<3，由定理2.4.2可知，该三元齐次线性方程组存在非零解，继续化简上述阶梯形矩阵为最简行阶梯形矩阵：

还原得到和原方程组同解的最简方程组：

取未知量 x ₃ 作为自由未知量，得原方程组的通解为

大展身手

例2.4.5 解齐次线性方程组

解 用矩阵的初等行变换化简方程组的系数矩阵为阶梯形矩阵

r （ A ）=2<4，由定理2.4.2可知，该四元齐次线性方程组存在非零解，继续化简上述阶梯形矩阵为最简行阶梯形矩阵

还原得到和原方程组同解的最简方程组：

取未知量 x ₃ ， x ₄ 作为自由未知量，得原方程组的通解为：

习题2.4

小试牛刀

1.判断下列线性方程组解的情况。

2.解下列齐次线性方程组：

3.解下列非齐次线性方程组：

大展身手

4. λ 取何值时，非齐次线性方程组

有唯一解？无解？有无穷多解？

5. λ 取何值时，非齐次线性方程组

有解？并求出它的全部解。

阅读材料（二）

矩阵

矩阵的研究历史悠久，拉丁方阵和幻方在史前年代已有人研究。

在数学中，矩阵（Matrix）是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合，最早来自方程组的系数及常数所构成的方阵。这一概念由19世纪英国数学家凯利首先提出。作为解决线性方程的工具，矩阵也有不短的历史。成书最早在东汉前期的《九章算术》中，用分离系数法表示线性方程组，得到了其增广矩阵。在消元过程中，使用的把某行乘以某一非零实数、从某行中减去另一行等运算技巧，相当于矩阵的初等变换，但那时并没有现今理解的矩阵概念，虽然它与现有的矩阵形式上相同，在当时只是作为线性方程组的标准表示与处理方式。矩阵正式作为数学中的研究对象出现，则是在行列式的研究发展起来以后。逻辑上，矩阵的概念先于行列式，但在实际的历史上则恰好相反。日本数学家关孝和（1683年）与微积分的发现者之一戈特弗里德·威廉·莱布尼茨（1693年）近乎同时地独立建立了行列式论，其后行列式作为解线性方程组的工具逐步发展。1750年，加布里尔·克莱姆发现了克莱姆法则。

矩阵的概念在19世纪逐渐形成。19世纪初，高斯和威廉·若尔当建立了高斯-若尔当消去法。1844年，德国数学家费迪南·艾森斯坦（F.Eisenstein）讨论了“变换”（矩阵）及其乘积。1850年，英国数学家詹姆斯·约瑟夫·西尔维斯特（James Joseph Sylvester）首先使用“矩阵”一词。

英国数学家阿瑟·凯利被公认为矩阵论的奠基人，他开始将矩阵作为独立的数学对象研究时，许多与矩阵有关的性质已经在行列式的研究中被发现了，这也使得凯利认为矩阵的引进是十分自然的。他说：“我决然不是通过四元数而获得矩阵概念的；它或是直接从行列式的概念而来，或是作为一个表达线性方程组的方便方法而来的。”他从1858年开始，发表了《矩阵论的研究报告》等一系列关于矩阵的专门论文，研究了矩阵的运算律、矩阵的逆以及转置和特征多项式方程，凯利还提出了凯莱-哈密尔顿定理，并验证了3×3矩阵的情况，又说进一步的证明是不必要的。哈密尔顿证明了4×4矩阵的情况，而一般情况下的证明是德国数学家弗罗贝尼乌斯（F.G.Frohenius）于1898年给出的。

1854年时法国数学家埃尔米特（C.Hermite）使用了“正交矩阵”这一术语，但他的正式定义直到1878年才由费罗贝尼乌斯发表。1879年，费罗贝尼乌斯引入矩阵秩的概念。至此，矩阵的体系基本上建立起来了。无限维矩阵的研究始于1884年，庞加莱在两篇不严谨地使用了无限维矩阵和行列式理论的文章后开始了对这一方面的专门研究。1906年，希尔伯特引入无限二次形（相当于无限维矩阵）对积分方程进行研究，极大地促进了无限维矩阵的研究。在此基础上，施密茨、赫林格和特普利茨发展出算子理论，而无限维矩阵成了研究函数空间算子的有力工具。

矩阵的概念最早在1922年见于中文。1922年，程廷熙在一篇介绍文章中将矩阵译为“纵横阵”.1925年，科学名词审查会算学名词审查组在《科学》第十卷第四期刊登的审定名词表中，矩阵被翻译为“矩阵式”，方块矩阵翻译为“方阵式”，而各类矩阵如“正交矩阵”、“伴随矩阵”中的“矩阵”则被翻译为“方阵”.1935年，中国数学会审查后，“中华民国”教育部审定的《数学名词》（并“通令全国各院校一律遵用，以昭划一”）中，“矩阵”作为译名首次出现。1938年，曹惠群在接受科学名词审查会委托就数学名词加以校订的《算学名词汇编》中，认为应当的译名是“长方阵”。中华人民共和国成立后编订的《数学名词》中，则将译名定为“矩阵”。1993年，中国自然科学名词审定委员会公布的《数学名词》中，“矩阵”被定为正式译名，并沿用至今。 0N/jT+9t2iYT+OJGa2ZRc7yfJzrszxnT/Mvq9WawyhHSPO98k6/GtlAmFOWTPzpq