第三节
矩阵的秩

思考问题

中学时数学老师可能会说过这样一句话：想要确定地求出 n 个未知数，你必须有 n 个方程才行。这句话其实是不严格的。例如以下含有3个未知数3个方程的方程组

我们将第一个方程的-3倍、-5倍分别加到第二个、第三个方程，就可以得到

继续将第二个方程的-3倍加到第三个方程，得到

注意到第三个方程：0=0实际上没有告诉我们任何新的信息，这个方程完全没有用处！换言之，整个方程组有价值的只有以下两个方程

那些真正是方程组中的有价值的方程的个数，就是这个方程组对应矩阵的秩。

矩阵的秩是矩阵的一个重要性质，展现出矩阵的本质。在判定线性方程组是否有解、向量组的线性相关性、多项式和空间几何等方面都有广泛的应用。

一、秩的概念

定义2.3.1 在矩阵 A =（ a _ij ） _m×n 中任取 k 行 k 列，其行列交叉处的元素按原顺序排列而成的 k 阶行列式称为矩阵 A 的一个 k 阶子式 。

例如：对于矩阵

为矩阵 A 的一个二阶子式， 为矩阵 A 的一个三阶子式。

定义2.3.2 矩阵 A = （ a _ij ） _m×n 的不为零的子式的最高阶数称为矩阵 A 的 秩 ，记为 r （ A ）。若 n 阶方阵 A 的秩为 n ，则称方阵 A 为 满秩矩阵 ，否则称为 降秩矩阵 。

二、秩的求法

小试牛刀

例2.3.1 设矩阵 ，求 A 的秩 r （ A ）。

解 在 A 中有一个二阶子式 又 A 的三阶子式只有一个即| A |，经过计算，| A |=0，由定义2.3.2可知 r （ A ）=2。

例2.3.2 设矩阵 ，求 A 的秩 r （ A ）。

解 容易看出 A 的所有4阶子式都为0，有一个3阶子式

所以 r （ A ）=3。

形如例2.3.2中的矩阵求秩比较容易，这样的矩阵称为 阶梯形矩阵 。

定义2.3.3 符合下列条件的矩阵称为阶梯形矩阵。

（1）可画出一条阶梯线，每个台阶只有一行；

（2）阶梯线下方的元素全为零；

（3）阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）后面的第一个元素为非零元，也就是非零行的第一个非零元。

例如

均为阶梯形矩阵。

定理2.3.1 任一矩阵可经有限次初等行变换化为阶梯形矩阵。

定理2.3.2 初等行变换不改变矩阵的秩。

证明从略。

小试牛刀

例2.3.3 设矩阵 ，求矩阵 A 的秩 r （ A ）。

因此 r （ A ）=2。

大展身手

例2.3.4 若矩阵 的秩为2，求 a 。

B 为阶梯形矩阵。

r （ A ）=2 =r （ B ），

因此 B 的第三行为零行，即 a （ a +1）=0，从而 a =0或 a =-1。

定义2.3.4 在阶梯形矩阵中，若非零行的主元全为1，且主元1所在列的其余元素全为零，则称该矩阵为 最简行阶梯形矩阵 。

例如

均为最简行阶梯形矩阵。

例2.3.5 利用初等行变换将下列矩阵 A 化简为最简行阶梯形矩阵。

习题2.3

小试牛刀

1.利用初等行变换将下列矩阵化为阶梯形及最简行阶梯形矩阵，并求出矩阵的秩。

2.求下列矩阵的秩。

大展身手

3.利用初等行变换解矩阵方程，设

求 X ，使 AX = B 。

4.对于 λ 的不同取值，矩阵

的秩为多少？ iT0WB9xMU+Eg1NuXl9j8ac75u1zIfxSMpLERAJL6uJh3V7K5G5PKmsBedBN7sPXU