下载掌阅APP，畅读海量书库
立即打开
思考问题
密码学在经济和军事方面都起着极其重要的作用。1929年，希尔（Hill）通过矩阵理论对传输信息进行加密处理，提出了在密码学史上有重要地位的希尔加密算法。假设我们要发出“stay”这个消息，首先把每个字母
a
，
b
，
c
，…，
x
，
y
，
z
映射到数1，2，3，…，24，25，26，例如，1表示
a
，2表示
b
，……，25表示
y
，26表示
z
，另外用0表示空格，27表示句号等，于是可以用以下数集来表示消息“stay”： 19，20，1，25 。把这个消息按列写成矩阵的形式：
。
第一步 “加密”工作。现在任选一个二阶的可逆矩阵，例如
，于是可以把要发出的消息或者矩阵经过乘以
A
变成“密码”（
B
）后发出。
第二步 “解密”。解密是加密的逆过程，这里要用到矩阵 A 的逆矩阵 A -1 ，这个可逆矩阵称为解密的钥匙，或称为“密匙”。
定义2.2.1 对于 n 阶方阵 A ，如果存在 n 阶方阵 B ，使得 AB = BA = E ，则称矩阵 A 是可逆矩阵，并称矩阵 B 是矩阵 A 的 逆矩阵 ，记作 A -1 ，即 B = A -1 。
例如
有
由定义2.2.1可知，矩阵 A 可逆，矩阵 B 是矩阵 A 的逆矩阵，矩阵 A 同时也是矩阵 B 的逆矩阵。
单位矩阵 E 可逆，且逆矩阵为 E ；而零矩阵 O 不可逆。
性质2.2.1 若方阵 A 可逆，则 A 的逆矩阵唯一。
性质2.2.2 若方阵 A 可逆，则 A 的逆矩阵也可逆，且（ A -1 ） -1 = A 。
性质2.2.3
若方阵
A
可逆，数
k
≠0，则
kA
也可逆，且
。
性质2.2.4 若方阵 A 可逆，则 A T 也可逆，且（ A T ） -1 =（ A -1 ） T 。
性质2.2.5 若 n 阶方阵 A 和 B 都可逆，则 AB 也可逆，且（ AB ） -1 = B -1 A -1 。
小试牛刀
例2.2.1 设3阶方阵 A 可逆，| A | =2，求|（2 A ） -1 |。
1.伴随矩阵法
定义2.2.2 由 n 阶方阵 A 的行列式| A |的各个元素的代数余子式 A ij 所构成的方阵
称为方阵 A 的伴随矩阵，记作 A *。
注意伴随矩阵 A *中代数余子式 A ij 的排列方式。
定理 2.2.1 n 阶方阵 A 可逆的充要条件是| A |≠0，且当 A 可逆时，
证明从略。
定义2.2.3 方阵 A 的行列式| A |=0时， A 称为奇异矩阵，否则称为非奇异矩阵。
n 阶方阵 A 可逆的充要条件是 A 为非奇异矩阵。
推论2.2.1 若方阵 A 和 B 满足 AB = E （或 BA = E ），则 A 和 B 均可逆，且 A -1 = B ，
小试牛刀
例2.2.2 判断下列方阵是否可逆，若可逆，求出其逆矩阵。
解
（1）由
可知
A
可逆，计算|
A
|的代数余子式如下：
A 11 =（-1） 1 +1 ×4=4， A 21 =（-1） 2+1 × 2 =- 2 ，
A 12 =（-1） 1 +2 ×3=-3， A 22 =（-1） 2+2 ×1=1。
得
从而
（2）由
可知
B
不可逆。
若
的行列式
ad
-
bc
≠0，则
【思考问题】中，矩阵
A
的逆矩阵为：
，利用
A
-1
从密码中解出：
通过反查字母与数字的映射，即可得到消息“stay”。
大展身手
例2.2.3 若方阵 A 满足 A 2 -3 A - E = O ，证明 A 可逆，并求 A -1 。
证明 由 A 2 -3 A - E = O 得 A 2 -3 A = E ，即 A （ A -3 E ）= E 。
由推论2.2.1可知， A 可逆，且 A -1 = A -3 E 。
2.初等行变换法
定义2.2.4 下面三种变换称为矩阵的初等行变换。
（1）交换第 i ， j 两行，记作 r i ↔ r j ；
（2）第 i 行乘以非零数 k ，记作 r i ×k ；
（3）将第 j 行的 k 倍加到第 i 行，记作 r i + r j ×k 。
矩阵的初等行变换是矩阵的一种十分重要的运算，它在求逆矩阵、解线性方程组及矩阵理论的探讨中起着重要的作用。
当矩阵 A 由初等行变换变换成矩阵 B 时，记作 A → B 。
A → B ，一般情况下， A ≠ B 。
定理2.2.2 n 阶方阵 A 可逆的充要条件是 A 可以由初等行变换化为 n 阶单位矩阵 E 。
证明从略。
初等行变换法求逆矩阵：由 n 阶方阵 A 与 n 阶单位矩阵 E ，构造一个 n 行2 n 列矩阵（ A ┊ E ），利用初等行变换将虚线左边的矩阵 A 化为单位矩阵 E ，同时虚线右边的单位矩阵 E 就变换成 A 的逆矩阵 A -1 ，即
小试牛刀
例2.2.4
设方阵
，求
。
解
从而
例2.2.5
设方阵
，求
。
从而
用初等行变换求矩阵 A 的逆矩阵，不一定需要知道 A 是否可逆，在对（ A ┊ E ）进行初等行变换的过程中，如果无法将虚线左边的矩阵 A 化为 E ，就说明 A 不可逆。
例2.2.6 解矩阵方程： AX = B ，其中：
解 方法一 ：由矩阵方程： AX = B 得： X = A -1 B 。
利用初等行变换求出
，
从而有
方法二： 利用初等行变换法求解
从而有
对（ A ┊ B ）施行初等行变换，将虚线左边的 A 化为E，同时会把虚线右边的 B 化为 A -1 B ，即未知矩阵 X 。
小试牛刀
1.利用伴随矩阵法求下列矩阵的逆矩阵。
2.已知3阶方阵
A
的行列式
3.利用初等行变换法求下列矩阵的逆矩阵。
大展身手
4.已知方阵 A 满足 A 2 -3 A -2 E = O ，证明 A 可逆，并求出 A -1 。
5.设矩阵
，求
和
。