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1.4 匀变速运动 圆周运动

1.4.1 匀变速运动

匀变速运动是一类最简单的运动,其加速度为常矢量.依据加速度方向与初速度方向是否共线,其轨迹可以是直线或抛物线.后者虽是曲线运动,但与前者可以一起统一处理.

根据加速度的定义(1.17)式,有d v a d t .由于 a 是常矢量,上式两边积分,可得

其中 v 0 是积分常数,在这里的意义是初速度.又根据速度的定义(1.9)式,有

两边再积分,得位移

(1.22)式和(1.23)式是匀变速运动的基本公式.根据(1.23)式,位移 s 是常矢量 v 0 a 的线性组合,是由跟 v 0 a 同向的两个矢量合成的,故 s 始终处在 v 0 a 所确定的平面内.

如果把(1.22)式和(1.23)式消去初速度 v 0 ,即得

若消去加速度 a ,即得

如果把(1.25)式两边分别点乘 a =( v - v 0 )/ t (见(1.22)式)的两边,即得 [1]

(1.22)~(1.26)式共五个公式,分别不含 v 0 v a s t 五个量中的一个.

匀变速运动的一个常见特例是地球表面的 抛体运动 .如果高度不太高,而空气阻力可以忽略,则抛射体的加速度就始终为重力加速度: a g

取平面直角坐标系,坐标原点为 t =0时的抛射点(即 r 0 =0), x 轴和 y 轴分别沿水平方向和竖直方向, v 0 在该平面内,如图1-6所示.设 θ 为抛射角,则有

图1-6 抛体运动

v 0 v 0 x i v 0 y j v 0 cos θ i v 0 sin θ j

物体所受的加速度为

a g =- g j

根据(1.22)式,可得物体在空中任意时刻的速度为

根据(1.23)式,物体在任意时刻的位置为

此即物体的运动方程(1.6).其分量是

由(1.29)式可知,抛体运动是由沿 x 轴方向的匀速直线运动和沿 y 轴方向的匀变速直线运动叠加而成的.此外,由(1.29)式易得物体所能到达的最大高度

以及到达该高度所用的时间

还可以得到物体的水平射程为

由(1.29)式中消去时间 t ,可以得到物体运动的轨道方程

由于 v 0 θ 是常数,显然该方程表示通过坐标原点的抛物线.

例1.4 质点从地面出发以初速度100m/s和抛射角 做斜抛运动,试求质点达到的最大水平距离,达到最大水平距离时的时间(重力加速度取10m/s 2 ).

解: 达到的最大水平距离为

达到最大水平距离时的时间为

1.4.2 圆周运动

质点曲线运动的一个重要特例是圆周运动.如图1-7所示,以 s 表示从圆周上 A 点起算的弧长,则质点的速度为 v =d s /d t (见1.10式).以 θ 表示半径 r OA 位置开始转过的角度,由数学关系有 s r θ .将这一关系代入上式,由于 r 是常量,有

式中 称为质点运动的 角速度 ,其SI 单位是rad /s.通常为与角速度的称呼做对比,把速度 v 又称为 线速度

角速度可以赋予一个方向,成为一个矢量 .那么该赋予它什么方向呢?在图1-7中,这个方向显然不应该在圆轨道平面内,因为该平面内所有方向都是等价的:既然能够赋予角速度沿 x 方向,为什么不能让它沿 y 方向?所以,合理的做法是让其方向垂直于轨道平面,即沿转轴方向.进一步的定义要求它的方向与转动方向之间构成 右手螺旋关系.

在定义了角速度矢量后,(1.30)式可以改写为矢量形式:

图1-7 线速度与角速度

式中 r O 点到质点的位矢.利用角速度矢量,可以同时给出线速度的大小和方向,使得表示公式简洁明了.

接下来求解圆周运动的加速度.由于质点做圆周运动时的速度方向不断变化,因此,即使是做匀速圆周运动,质点的加速度也不为零.记切向和法向方向的单位矢量分别为 τ n .如图1-8(a)所示,在时刻 t ,质点位于 a 点,速度为 v a ,在时刻 t t ,质点位于 b 点,速度为 v b .在图1-8(b)中,在矢量 v b 上截取一段等于| v a |,作矢量(Δ v 1 和(Δ v 2 ,则在时间Δ t 内,质点速度的增量可分解为

Δ v =(Δ v 1 +(Δ v 2

下面考虑极限情况.从图1-8中可以看出,当Δ t 趋于零时, v b 和(Δ v 1 的方向趋于跟 v a 相同,即趋于切线方向 τ ,而(Δ v 2 趋于法向 n .因此,在极限情况下,(Δ v 1 和(Δ v 2 分别表示速度的切向和法向增量,从而可以用来计算切向加速度和法向加速度:

对于切向情况,由图1-8(b)可知

(Δ v 1 v b τ - v a τ =Δ v τ

图1-8 圆周运动的速度变化

也就是说,加速度的切向分量为

a τ >0,表示速率随时间增大, a τ 与速度 v 同向;当 a τ <0,表示速率随时间减小, a τ 与速度 v 反向.将(1.30)式代入上式可得

式中 为质点运动角速度对时间的变化率,称为 角加速度 .它的SI单位是rad/s 2 .根据上式,切向加速度等于半径与角加速度的乘积.

对于法向情况,

(Δ v 2 ≈|(Δ v 2 | n

参考图1-8(a)和(b)图中的两个夹角为Δ θ 的相似等腰三角形,有

式中 为弦长,它趋于弧长Δ s .故

也就是说,加速度的法向分量为

这里用到了(1.30)式. a n 的方向总是垂直于速度 v 的方向并且指向圆心.

结合上面的讨论,最后有

这就是圆周运动加速度的表达式,其中, 切向加速度表示速度大小变化的快慢,而法向加速度表示速度方向变化的快慢. 而加速度的大小为

对于一般平面曲线运动,其加速度表达式同上,只要把半径 r 换为曲率半径 ρ 即可.

[1] (1.26)式在某种意义上可以认为是由(1.22)式和(1.23)式消去时间 t 而得,但这种消元不能这样直接进行: ,因为矢量没有除法. CZCKGa2D+8M+IroqMgtNwWTIwl3z522CAA5gSVFJwYvvsuxGA8MtYsvtaOMUkp6y

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