1.4 匀变速运动 圆周运动

1.4.1 匀变速运动

匀变速运动是一类最简单的运动，其加速度为常矢量．依据加速度方向与初速度方向是否共线，其轨迹可以是直线或抛物线．后者虽是曲线运动，但与前者可以一起统一处理．

根据加速度的定义（1.17）式，有d v ＝ a d t ．由于 a 是常矢量，上式两边积分，可得

其中 v ₀ 是积分常数，在这里的意义是初速度．又根据速度的定义（1.9）式，有

两边再积分，得位移

（1.22）式和（1.23）式是匀变速运动的基本公式．根据（1.23）式，位移 s 是常矢量 v ₀ 和 a 的线性组合，是由跟 v ₀ 和 a 同向的两个矢量合成的，故 s 始终处在 v ₀ 和 a 所确定的平面内．

如果把（1.22）式和（1.23）式消去初速度 v ₀ ，即得

若消去加速度 a ，即得

如果把（1.25）式两边分别点乘 a ＝（ v - v ₀ ）/ t （见（1.22）式）的两边，即得 ^[1]

（1.22）～（1.26）式共五个公式，分别不含 v ₀ ， v ， a ， s ， t 五个量中的一个．

匀变速运动的一个常见特例是地球表面的 抛体运动 ．如果高度不太高，而空气阻力可以忽略，则抛射体的加速度就始终为重力加速度： a ＝ g ．

取平面直角坐标系，坐标原点为 t ＝0时的抛射点（即 r ₀ ＝0）， x 轴和 y 轴分别沿水平方向和竖直方向， v ₀ 在该平面内，如图1-6所示．设 θ 为抛射角，则有

v ₀ ＝ v _{0 x} i ＋ v _{0 y} j ＝ v ₀ cos θ i ＋ v ₀ sin θ j ．

物体所受的加速度为

a ＝ g ＝- g j ．

根据（1.22）式，可得物体在空中任意时刻的速度为

根据（1.23）式，物体在任意时刻的位置为

此即物体的运动方程（1.6）．其分量是

由（1.29）式可知，抛体运动是由沿 x 轴方向的匀速直线运动和沿 y 轴方向的匀变速直线运动叠加而成的．此外，由（1.29）式易得物体所能到达的最大高度

以及到达该高度所用的时间

还可以得到物体的水平射程为

由（1.29）式中消去时间 t ，可以得到物体运动的轨道方程

由于 v ₀ 和 θ 是常数，显然该方程表示通过坐标原点的抛物线．

1.4.2 圆周运动

质点曲线运动的一个重要特例是圆周运动．如图1-7所示，以 s 表示从圆周上 A 点起算的弧长，则质点的速度为 v ＝d s /d t （见1.10式）．以 θ 表示半径 r 从 OA 位置开始转过的角度，由数学关系有 s ＝ r θ ．将这一关系代入上式，由于 r 是常量，有

式中 称为质点运动的 角速度 ，其SI 单位是rad /s．通常为与角速度的称呼做对比，把速度 v 又称为 线速度 ．

角速度可以赋予一个方向，成为一个矢量 ．那么该赋予它什么方向呢？在图1-7中，这个方向显然不应该在圆轨道平面内，因为该平面内所有方向都是等价的：既然能够赋予角速度沿 x 方向，为什么不能让它沿 y 方向？所以，合理的做法是让其方向垂直于轨道平面，即沿转轴方向．进一步的定义要求它的方向与转动方向之间构成 右手螺旋关系．

在定义了角速度矢量后，（1.30）式可以改写为矢量形式：

式中 r 为 O 点到质点的位矢．利用角速度矢量，可以同时给出线速度的大小和方向，使得表示公式简洁明了．

接下来求解圆周运动的加速度．由于质点做圆周运动时的速度方向不断变化，因此，即使是做匀速圆周运动，质点的加速度也不为零．记切向和法向方向的单位矢量分别为 τ 和 n ．如图1-8（a）所示，在时刻 t ，质点位于 a 点，速度为 v _a ，在时刻 t -Δ t ，质点位于 b 点，速度为 v _b ．在图1-8（b）中，在矢量 v _b 上截取一段等于| v _a |，作矢量（Δ v ） ₁ 和（Δ v ） ₂ ，则在时间Δ t 内，质点速度的增量可分解为

Δ v ＝（Δ v ） ₁ ＋（Δ v ） ₂ ．

下面考虑极限情况．从图1-8中可以看出，当Δ t 趋于零时， v _b 和（Δ v ） ₁ 的方向趋于跟 v _a 相同，即趋于切线方向 τ ，而（Δ v ） ₂ 趋于法向 n ．因此，在极限情况下，（Δ v ） ₁ 和（Δ v ） ₂ 分别表示速度的切向和法向增量，从而可以用来计算切向加速度和法向加速度：

对于切向情况，由图1-8（b）可知

（Δ v ） ₁ ≈ v _b τ - v _a τ ＝Δ v τ ．

故

也就是说，加速度的切向分量为

当 a _τ ＞0，表示速率随时间增大， a _τ 与速度 v 同向；当 a _τ ＜0，表示速率随时间减小， a _τ 与速度 v 反向．将（1.30）式代入上式可得

式中 为质点运动角速度对时间的变化率，称为 角加速度 ．它的SI单位是rad/s ² ．根据上式，切向加速度等于半径与角加速度的乘积．

对于法向情况，

（Δ v ） ₂ ≈|（Δ v ） ₂ | n ．

参考图1-8（a）和（b）图中的两个夹角为Δ θ 的相似等腰三角形，有

式中 为弦长，它趋于弧长Δ s ．故

也就是说，加速度的法向分量为

这里用到了（1.30）式． a _n 的方向总是垂直于速度 v 的方向并且指向圆心．

结合上面的讨论，最后有

这就是圆周运动加速度的表达式，其中， 切向加速度表示速度大小变化的快慢，而法向加速度表示速度方向变化的快慢． 而加速度的大小为

对于一般平面曲线运动，其加速度表达式同上，只要把半径 r 换为曲率半径 ρ 即可．

[1] （1.26）式在某种意义上可以认为是由（1.22）式和（1.23）式消去时间 t 而得，但这种消元不能这样直接进行： ，因为矢量没有除法． 7X1aTDRbC3Dnwb5Hv+sPQ8ztk+G+NCOfOW3n0tSG9+3P7cXxXE8vgTNrnaMGQbQc