新编大学物理最新章节_孙卫卫著

1.3 速度加速度

1.3.1 速度

研究质点的运动，不仅要知道质点的位移，还必须知道质点在多长一段时间内通过这段位移，即要知道质点运动的快慢程度．

位移Δ r 和发生这段位移所经历的时间之比叫作质点在这一段时间内的平均速度，记为，有

平均速度也是矢量，它的方向就是位移的方向．平均速度依赖于过程，图1.3中绘出了多个过程．

平均速度粗略地描写了Δ t 这段时间内物体的运动快慢和运动方向，这种描写是不细致的．要得到细致描写，必须采用极限方式．图1-3中，当质点从 a 点趋向 b 点的过程中，对于不同的位置可以得到不同的平均速度：

图1-3 平均速度的极限

虽然Δ t 在不断减小，但同时|Δ r |也在不断减小，所以比值通常不会浮动很大．而且，质点越接近 b 点（Δ t 越小）时，平均速度越能反映质点在 b 点的运动情况．于是，Δ t 趋于零时比值Δ r /Δ t 的极限就应该准确反映质点在 b 点的运动情况．（1.8）式的极限，即质点位矢对时间的变化率，叫作质点在时刻 t 的瞬时速度，简称速度，记为 v ．于是，

速度的方向，就是当Δ t 趋于零时，位移Δ r 的方向．由图1.3可以看出，当Δ t 趋于零时， a 点向 b 点趋近，位移Δ r 的方向就趋于运动轨道在 a 点的切线方向．所以，质点在某时刻的速度方向就是质点所在处轨道的切线方向．

在实际运用中，有时仅需要考虑速度的大小，这时人们也常采用速率这个物理量．速率是速度的大小，是一个标量，它不考虑质点运动的方向．故有

需要注意的是，由于位矢改变的大小|Δ r |与位矢大小的改变Δ r 一般不相等（见（1.5）式），因此，

在直角坐标系中，将（1.1）式代入（1.9）式，并考虑到三个坐标轴的单位矢量为常矢量，不随时间改变，因此有

也就是说，速度 v ＝ v _x i ＋ v _y j ＋ v _z k 的三个分量分别为

速度的模（大小）可以计算为

速度的SI单位是m/s．

阅读一些实际的速率与加速度数值

1.3.2 加速度

当质点的运动速度随时间改变时，常常需要了解速度矢量变化的情况．这个变化可以是运动快慢的变化，也可以是运动方向的变化．一般情况下，速度的方向和大小都可以变化．速度矢量变化的快慢用加速度表示．如图1-4所示，在时刻 t ，质点位于 a 点，速度为 v _a ，在时刻 t ＋Δ t ，质点位于 b 点，速度为 v _b ，则在时间Δ t 内，质点速度的增量为

图1-4 速度的增量

类似平均速度的定义，可以定义时间Δ t 内的平均加速度为

平均加速度只是反映在时间Δ t 内速度的平均变化率．为了准确描述质点在某一时刻的速度变化快慢，必须引入瞬时加速度的概念．当时间间隔Δ t 趋于零时，（1.16）式表示的平均加速度的极限，即速度对时间的变化率，称为质点在时刻 t 的瞬时加速度，简称加速度：

加速度也是矢量．质点运动速度的大小和方向的改变，都会引起加速度．在直角坐标系中，将速度的表示式（1.12）代入上式，有

也就是说，加速度的三个分量分别为

加速度的大小可用下式计算：

加速度的SI单位是m/s ² ．

例1.1 如图1-5所示，人造地球卫星在绕地球的平面轨道内做匀速圆周运动，角速度为 ω ，卫星距地球球心的距离为 r ，试求：（1）在平面直角坐标系中，卫星任一时刻的位矢、速度和加速度；（2）当 r ＝5×10 ⁷ m， ω ＝7.3×10 ^-5 rad/s，卫星的速率和加速度的大小．

解：（1）如图，选择以球心为坐标原点的平面直角坐标系，卫星在任意一点的坐标为 x ＝ r cos ω t ， y ＝ r sin ω t ．任意时刻 t 的位矢为 r ＝ r cos ω t i ＋ r sin ω t j ，任意时刻 t 的速度为 v ＝，速度的大小（即速率）为，任意时刻 t 的加速度为