1.2 位置矢量 运动方程

1.2.1 位置矢量

在选定的坐标系中，为了表示质点的运动，采用 位置矢量 （简称 位矢 或 矢径 ）描述质点运动的瞬时位置．从坐标系的原点到质点所在瞬时位置的有向线段称为位矢，用矢量 r 表示．参看图1-1，在直角坐标系 O - xyz 中，质点 P 的位置可用它在坐标系中的三个坐标 x ， y ， z 来确定，坐标 x ， y ， z 就是位矢 r 在三个坐标轴上的分量．

在直角坐标系中，位矢 r 可以写为

式中 i ， j ， k 分别表示沿 x ， y ， z 轴正方向的单位矢量．位矢 r 的大小为

位矢的方向余弦是

1.2.2 位移

如图1-2（a）所示，设质点沿曲线轨道 ab 运动．在时刻 t ，质点在 a 处，在时刻 t ＋Δ t ，质点到达 b 处． a 、 b 两点的位矢分别用 r ₁ 和 r ₂ 表示，则在时间间隔Δ t 内，质点位矢的变化

就称为 位移 ．位移是描述物体位置改变的大小和方向的物理量，图中就是由起始位置 a 指向终止位置 b 的一个矢量，它的运算是按三角形法则或平行四边形法则进行的．

有两点要注意：

首先， 位矢改变的大小 （即位移的模）|Δ r |与 位矢大小的改变 Δ r 是不同的，Δ r ≡| r ₂ |-| r ₁ |≠|Δ r |≡| r ₂ - r ₁ |，如图1-2（b）所示．

其次，位移表示物体位置的改变，并不是物体实际所经历的路程在图．1-2（a）中，位移是有向线段 ，它的大小|Δ r |为直线 ab 的长度．而路程是指物体实际所经过的轨道的长度，它是一个标量，一般用Δ s 表示，在图中即曲线 a b 的长度．通常|Δ r |与Δ s 不一定相同（除非是直线运动），当Δ t 较小时，二者近似相等，而当Δ t 趋近于零时，可以有|d r |＝d s ．

以上两点可以总结为下面的公式：

1.2.3 运动方程

质点在空间的运动就是质点的空间位置随时间变化的过程．质点的位矢 r 以及坐标 x ， y ， z 都是时间 t 的函数．而表示运动过程的具体函数式就称为 运动方程 ，可以表示为

或

知道了质点的运动方程，就能确定任一时刻质点的位置，从而确定质点的运动．如果从质点的运动方程（1.7）式中消去时间 t ，就可以得到质点三个坐标之间一种函数关系，称为质点的 轨道方程 ．

力学的主要研究任务之一，就是根据各种问题的具体条件，求解质点的运动方程． eNRQTvFvvWFVWVAWK92luPQ4Q65FAvFAX99XzRlNHzCGeV3gUT1HByAPeiDlGsjQ