下载掌阅APP，畅读海量书库
立即打开
根据角动量定理，如果力矩为0，那么体系的角动量将保持不变．这就是角动量守恒定律．根据情况的不同，角动量守恒定律有多种形式．质点和质点系的情况前面已经阐述，下面专门讨论刚体情况．
刚体的对轴角动量由（3.19）式给出，它正比于对轴转动惯量和角速度的乘积．由转动定理（即对轴角动量定理）（3.20）式可知，当外力对轴的总力矩为零时，刚体对该轴的角动量保持不变．故在定轴转动中，当 M z ＝0时，有
由于刚体的对轴转动惯量是不变的，故
在航海、航空、航天以及导弹中使用的定向装置回转仪，其基本原理就是刚体的角动量守恒定律．这种回转仪高速旋转，而且尽量把外力矩减到了最小．虽然回转仪没有可以看见的转轴，但它靠惯性而保持着其转轴方向和转动角速度大小不变，因为这分别表征着其角动量的方向和大小．因此，不管飞行器如何飞行，回转仪总是指向确定方向，从而可以用于定向．
根据质点系的对轴角动量定理（3.16）式，如果合外力矩的 z 分量 M z ＝0，那么质点系的对轴角动量将守恒．在实际使用中经常碰到整个体系不能视为一个刚体的情况，但体系的始末状态都表现为一些刚体（和质点）的组合．此时，刚体的对轴角动量根据（3.19）式是很容易计算的，于是可以得到有用的方程．
例如，对于一个可以形变的物体，虽然其转动惯量可以变化，但（3.27）式可以适用，只要物体的始末状态都可以视为刚体．这意味着转动惯量 I 和角速度 ω 都可以改变，但它们的乘积将保持不变．因此，当转动惯量增大时，角速度必然减小；当转动惯量减小时，则角速度必然增大．
这样的实例有很多．例如，体操运动员在做翻转动作时，通常在起跳后将身体蜷缩起来，以减小转动惯量，从而增加转动的角速度，使得翻转的次数尽量得多．当运动员准备落地时，又会将身体展开，以增大转动惯量而减小角速度，便于稳定地落地．溜冰运动员和舞蹈演员在做旋转动作时，通过张开或收缩手臂来改变转动的快慢，其原理也是利用改变转动惯量来控制转动．在工业生产中，离心式调速器也是通过角动量守恒的原理来调节转速．
例3.3 工业上常将两个飞轮用摩擦啮合器使它们以相同的转速一起转动．它的基本结构是两飞轮的轴杆在同一中心线上，转动惯量分别为 I 1 ＝20kg·m 2 和 I 2 ＝40kg·m 2 ．初始时，第一个飞轮的转速为 n 1 ＝500r/min，另一个为静止．试求两轮啮合后的共同转速．
解： 考虑两飞轮组成的一个系统，则系统不受外力矩，啮合前后的角动量守恒．设啮合后的角速度为 ω ，有
I 1 ω 1 ＋ I 2 ω 2 ＝（ I 1 ＋ I 2 ） ω ，
或
I 1 n 1 ＋ I 2 n 2 ＝（ I 1 ＋ I 2 ） n ，
故
例3.4 质量为 M ，半径为 R 的水平均匀圆盘可以绕竖直轴转动．在盘的边缘上有一个质量为 m 的人，二者开始都相对地面静止．当人沿盘的边缘相对于圆盘走一周时，盘对地面转过的角度为多少？略去转轴处的摩擦阻力．
解： 人和盘组成的系统中，外力矩在转轴上的分量为零，满足角动量守恒．人和盘对转轴的转动惯量分别为 I 1 ＝ mR 2 和 I 2 ＝ MR 2 /2．设二者的角速度分别为 ω 1 和 ω 2 ，角位移分别为 θ 1 和 θ 1 ，由角动量守恒，有
I 1 ω 1 - I 2 ω 2 ＝0．
故
两边同乘以d θ ，并积分，有
即
又因为人在盘上走一周，满足
θ 1 ＋ θ 2 ＝2π．
故
例3.5 如图3-7所示，质量为2.97kg、长为1.0m的均匀细杆可绕水平且光滑的 O 轴转动，杆静止于竖直方向．一质量为10g的粒子以水平速度200m/s射向杆的下端，并未穿出，而是和杆一起运动．求碰撞前后系统的动能改变和动量改变．
图3-7 粒子入射细杆
解： 碰撞过程动量并不守恒，因为 O 处的约束会施予杆以额外的力，使得 O 点不动．但系统对 O 点的角动量守恒：
于是
动能改变为
刚体的动量等于把质量集中于质心时的动量，故动量改变为
可见，系统的动能有损失，但动量有增加．后者是因为，若 O 点不被固定，则碰撞后的瞬间 O 点将向后运动．因此，碰撞时 O 处的约束施予杆的力是向前的，使总动量增加．