3.3 动能定理

在第2章2.4节已经讨论了质点系的动能定理，其中一对内力做功之和

并不一定为0，而取决于两质点间的距离是否改变．刚体作为一种特殊的质点系，其内各质点间的距离| r _ji |不变，故 刚体的内力做功之和为0 .此时的动能定理为

即外力所做的功等于刚体动能的增量．但由于刚体的特殊性，此时外力做的功和刚体动能都有简单的形式．

刚体的转动动能是刚体上的各个质点动能之和：

根据（3.14）式，刚体的转动动能为

该式可以跟质点动能表达式 做类比，所以转动时的转动惯量确实相当于平动时的质量．

对于刚体的转动，力的功体现为 力矩的功 ．刚体上任一质点所受外力做的功为

由于该质点的速度 v 和无限小位移d r ＝ v d t 总在垂直于转轴的某一个平面内，且沿着该质点圆轨道的切线方向 τ ，故只有力 F 沿 τ 方向的分量 F _τ 才做功：

其中用到了d θ ＝ ω d t 和（3.17）式．当刚体从 θ ₁ 转到 θ ₂ 时，力所做的功为

从（3.24）式和（3.25）式可以看出，力做的功可以用力矩表示出来，表现为力矩做的功．

根据刚体动能和功的特殊表达式（3.23）式和（3.24）式，刚体的动能定理（3.22）式可以表示为

当然，这种形式的动能定理也可以直接从刚体的转动定理（3.20）式得到：

作为一个小结，下面给出刚体的定轴转动和质点的一维运动的对比．但要注意，这种对应只是有用的，但并不是基本的，所以要注意适用条件．