3.2 刚体的定轴转动定理和转动惯量

3.2.1 刚体的定轴转动及其描述

固体都有一定的形状和大小，在外力的作用下，其形状和大小都要发生变化．这种变化对于我们研究物体的运动会带来许多不便．通常固体在外力的作用下，其变形都很小．在这种形变不产生实质后果时，我们将其略去，认为固体在外力的作用下不发生形变，这就是 刚体 ．刚体也是一种理想模型，它是一种特殊的质点系，其内部各个质点之间的相对位置保持不变．

刚体的运动形式有转动和平动，以及二者的合成．对于平动，由于其内各质点的运动情况完全一样，此时刚体可以当成一个质点处理．刚体的转动比较复杂，有 定轴转动 和 定点转动 两种情况．定轴转动是刚体转动最简单的形式．在这种转动中刚体上的各点都绕着一个固定转轴做圆周运动．由于两点确定一条直线，故刚体定轴转动的一种定义是：至少有两点始终保持不动的转动．本章主要讨论刚体的定轴转动．

刚体做定轴转动时，刚体上各点的位移、速度、加速度一般不相等，但各点都在各自的固定平面（垂直于转轴）内做圆周运动，而且各点的角位移、角速度和角加速度都是相等的．

图3-3为一个绕 z 轴转动的刚体在 xy 平面内的截面， z 轴垂直于纸面向外．在该截面内任取一点 P （非原点 O ），则 P 点的位置确定了，刚体的位置也就唯一确定了．而 P 点的位置可用 OP 离开 Ox 的角度 θ （称为 角坐标 ）确定，这里规定 θ 以逆时针方向为正．这样规定的角坐标正方向与 z 轴的正方向符合右手螺旋关系．于是，只需要用一个自由度，即角坐标 θ ，即可表征刚体的位置．于是，刚体绕 z 轴的转动就用角坐标 θ 随时间的变化来表示：

这就是定轴转动刚体的运动学方程．由此马上得到刚体的角速度和角加速度：

角坐标 θ 、角速度 ω 和角加速度 β 都是代数量．例如， ω ＜0表示刚体反向转动， β ＜0表示正向转动时角速度在减小，或反向转动时角速度在增加．角坐标、角速度和角加速度之间的关系，与质点一维运动时的坐标、速度和加速度的关系完全类似．将（3.11）式对时间积分，即得

因此，若已知角加速度随时间的关系以及初始角速度和初始角坐标，那么就可以得到运动学方程（3.10）．对于匀加速转动， β 为常数，此时有

读者可以将此处的公式与第一章的相应公式比较．

刚体做定轴转动时，其角速度矢量 ω 即沿转轴的方向，刚体上任一点在垂直于转轴的平面内做圆周运动．根据第一章圆周运动的知识，任一点的线速度为 v ＝ ω r _⊥ ，其中 r _⊥ 为从刚体转轴到质点 P 的垂直距离．为简单起见，在不至于混淆的地方，我们改 r _⊥ 为 r ，只需记住 r 不是从原点到 P 点的距离，而是从转轴到 P 点的垂直距离即可．于是，线速度与角速度的关系为

加速度的关系就复杂些，为方便计罗列如下：

3.2.3 刚体定轴转动定理

刚体是一种特殊的质点系，适用质点系的角动量定理（3.9）式．由于定轴转动存在一个确定的转轴（ z 轴，其正方向为 ω 的指向），而且通常我们只关心绕 z 轴的转动，因此，我们只考虑（3.9）式的 z 分量，即只考虑绕 z 轴（或对 z 轴）的角动量定理：

其中 i 是对刚体中各质元的编号．

方程（3.16）的左边是力产生的绕 z 轴的力矩．在图3-4中，对于一个一般的力 F 而言，对 M _z 有贡献的显然只有力 F 的绕轴分量 F _τ 和位矢 R 的垂直分量 r （即离开 z 轴的垂直距离），故

该结论也可以按照力矩的定义（3.2）式 M ≡ R × F 并取其 z 分量而得到：

M ＝ R × F ＝（ r ＋ r _∥ ）×（ F _τ ＋ F _∥ ＋ F _n ）

＝ r × F _τ ＋ r × F _∥ ＋ r _∥ × F _τ ＋ r _∥ × F _n ．

显然，由于第二、三、四项的因子中都有沿 z 轴的矢量，故这三个叉乘结果都没有 z 分量，从而对 M _z 有贡献的只有第一项．

方程（3.16）式的右边是绕 z 轴的角动量（或角动量的 z 分量）的变化率．对于质元 i ，其绕 z 轴的角动量为 L _iz ＝ r _i m _i v _i ．根据（3.14）式，有

注意其中 ω 是与各质元无关的．于是，刚体对 z 轴的总角动量为

其中求和部分反映刚体自身的特征，称为刚体绕 z 轴的 转动惯量 ：

于是，刚体绕 z 轴的角动量等于其绕 z 轴的转动惯量与角速度的乘积：

因此，根据绕 z 轴的角动量定理（3.16）式和（3.19）式，有

这就是刚体对轴的角动量定理，又称为刚体绕定轴的 转动定理 ．转动定理表明，刚体定轴转动时的角加速度正比于刚体所受到的对轴的力矩之和．如果刚体对轴的力矩为 0 ，则刚体保持匀速转动状态．

需要注意的是，一般来说，刚体的角动量 L 的方向与其角速度 ω 的方向（即 z 轴方向）不一定相同，（3.19）式只是给出角动量的 z 分量而已．设一个质点 P 在图3-5中画出的平面内绕 z 轴做匀速圆周运动．现在的问题是：它只是在绕 z 轴旋转吗？有没有绕 x 轴旋转？有没有绕 y 轴旋转？考虑 A 点．质点 P 在此处的速度 v _A 沿 y 轴方向，且 ，故质点 P 在 A 点时也在绕 x 轴旋转！（当然，此时没有绕 y 轴的旋转．）类似地，质点在 B 处时也在绕 y 轴旋转（但没有绕 x 轴旋转）．作为 A 、 B 两点的中间情况，考虑 C 点．此时质点 P 的速度 v _C 有分量 v _Cx 和 v _Cy ，可以看出，质点也在绕 y 轴和 x 轴旋转．也就是说，在 C 点时，质点 P 同时在绕 x 轴、 y 轴和 z 轴旋转，只是对应的角速度不相同而已．这种情况实际上是质点 P 在 C 点时的角动量（反映质点绕原点的转动）沿三个轴的分量（反映质点绕三个轴的转动）都不为0的体现．

在图3-5中，设原点 O 处也有一质点．把质点 P 与质点 O 用一根质量可以忽略的轻杆连起来，就得到一个绕 z 轴做定轴转动的刚体，且刚体的角动量就等于质点 P 的角动量（因为轻杆无质量，而质点 O 无运动）．显然，根据上面的分析，刚体的角动量矢量在一般情况下沿三个轴都有分量，而刚体的角速度却只是沿 z 轴方向．故通常而言，刚体的角动量方向与其角速度方向可以不同．这也是为什么我们要强调（3.19）式和（3.20）式只是针对绕 z 轴的转动的原因．实际上此时也有绕 x 轴和绕 y 轴的转动，只是我们不关心而已．

如果刚体有对称轴，那么刚体绕对称轴转动时， L 与 ω 一定同向．更一般地，对于任意刚体，过其上任意一点都有三条称为惯量主轴的直线，它们相互垂直，绕任何一根旋转都有 L ∥ ω ．

3.2.4 转动惯量

刚体的转动惯量反映了刚体的转动特性，是一个重要的概念，有必要专门阐述．

牛顿第二定律中的质量可以视为物体平动时惯性大小的量度，而转动定理表明， I _z （以下省略脚标，写为 I ）实际上表明刚体反抗外力矩的一种能力，是转动惯性的体现，故称为转动惯量，相当于平动时的质量．转动惯量大的刚体不容易改变它的转动运动状态，这就是那些需要有稳定转速的机器设备，在转轴上都有一个较重的飞轮的原因．

由定义（3.18）式可以看出，转动惯量等于组成刚体各质点的质量与各个质点到转轴的距离平方的乘积之和．刚体的质量通常是连续分布的，此时求和可以改写为积分，有

式中d m ＝ ρ d V 是质元的质量， r 是此质元到转轴的垂直距离．转动惯量不仅跟刚体的质量分布有关，还跟转轴的位置有关．