3.1 质点和质点系的角动量

3.1.1 角动量定理

角动量定理是除动量定理、动能定理之外牛顿运动定律的又一推论．把牛顿第二定律

两边用位矢 r 从左叉乘，得

现在考虑等式右边．由于

故

该式反映了又一重要规律．定义

为 力矩 ，定义

为 角动量 ，那么，（3.1）式表明，力矩等于角动量的变化率．这就是 角动量定理 ．

角动量定理还有另一形式：

由于 F d t 是（元）冲量，故 r × F d t 称为（元） 冲量矩 ．对于某一过程，则有

不论是（3.4）式还是（3.5）式都表明，质点所受的冲量矩等于质点角动量的改变．这也是角动量定理的表述．

角动量定理也是一个动力学规律，也是对运动与力的关系的一个定量回答．角动量 L ＝ r × m v 是质点运动状态的又一种描述，而力矩 M ＝ r × F 则由力所确定，反映外界作用的又一方面．于是角动量定理告诉我们，力矩是角动量改变的原因．

力矩虽然与功和能具有同样的量纲，但其SI单位是N·m，而不是J．

3.1.2 对力矩和角动量概念的分析

力矩 M 是个矢量，其方向垂直于质点位矢 r 和力 F 所构成的平面，其大小等于 rF sin α ，其中 α 是 r 和 F 的夹角，而 r _⊥ ＝ r sin α 又称为力臂（见图3-1（a））．故力矩的大小等于力与力臂的乘积，位矢 r 的另一个平行于 F 的分量 对力矩没有贡献．力矩的概念表明，不仅力的方向重要，力的作用线也是很重要的．沿着力的作用线平移力矢量，不会产生多大问题，只是作用点改变而已；但离开作用线平移力矢量将改变力臂，从而改变力矩．以上是利用了对位矢 r 的分解，也可以分解力，此时力矩只依赖于力的垂直分量 ，另一个分量 对力矩没有贡献．故有

在日常经验中，推门时力的作用点总尽可能地离轴远且方向尽量垂直于门，这就是为了用较小的力产生较大的力矩．

角动量的定义与力矩类似（见图3-1（b）），其方向垂直于质点位矢 r 和动量 p ＝ m v 所构成的平面，其大小等于 rmv sin θ ，其中 θ 是 r 和 m v 的夹角．仿照力的作用线、力臂两个概念，这里也可以定义“动量线”“动量臂”的概念．显然，角动量的大小等于动量与“动量臂” r _⊥ 的乘积，位矢的另一分量 对角动量没有贡献．质点在保持其动量不变的前提下沿“动量线”平移不会改变“动量臂” r _⊥ ＝ r sin θ 的大小，也就不会改变角动量．另一方面，我们也可以分解动量，而对角动量有贡献的只有动量的垂直分量 ，因为只有它才反映了绕 O 点的转动，而 只表示离开 O 点的运动，与转动无关．故有

角动量具有明显的几何意义如图．3-1（c）所示，在d t 时间内，质点的位矢由 r 变为'位移为d r ．显然，从原点到质点的连线所扫过的面积为 r ，

所以，角动量的大小正比于连线在单位时间内扫过的面积（简称掠面速度），具体为

在图3-1（c）中，△ OPA 与△ OPB 的面积显然相等，因而若质点在 P 处以 运动，其角动量等于在 P 处以 v 运动时具有的角动量．这又印证了（3.6）式．

可见，不论是力矩还是角动量，其大小和方向都有赖于参考点 O 的选择．如果参考点取在力的作用线（或“动量线”）上，则此时的力矩（或角动量）为0，若参考点跨过了该线，则力矩（或角动量）将反号．在讨论问题时，必须选取统一固定的参考点，此时角动量定理（3.1）式才有意义．在选定参考点后， 角动量是描述质点绕参考点转动状态的一种定量指标，而力矩则是转动状态的这种指标发生改变的原因 ．

3.1.3 质点的角动量守恒定律

根据角动量定理，如果质点受到的力矩 M ＝ 0 ，那么

即质点的角动量将守恒．

M ＝ 0 的一个简单情况是 F ＝ 0 ，即质点是自由的．此时质点做匀速直线运动，它与参考点的连线在相等的时间内扫过的面积相等．在图3-1（b）中，质点这样的运动就相当于不变的动量沿“动量线”平移．

M ＝ 0 的另一重要例子是质点在有心力场中的运动，比如行星绕太阳的运动．此时，由于太阳的质量足够大，以至于可以认为是静止的．以太阳为参考点，则 r ∥ F ，故 M ≡ r × F ＝ 0 ．这意味着，虽然行星的动量（速度）一直在改变，但其角动量 L ＝ r × m v 的方向和大小却都不变．角动量 L 的方向是垂直于 v 和 r 所确定的平面的． L 的方向不变，意味着 v 和 r 所确定的平面也不变．开始时位矢和速度确定了某一个平面，则此后速度永远在此平面内而不会离开该平面．因此，行星的轨道也始终在同一个平面内（太阳也在该面内），其轨迹一定是条平面曲线，而不会是空间曲线．角动量 L 的大小不变，意味着行星与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等．这正是 开普勒第二定律 ．而开普勒当年是通过大量的观测数据才得到这个结论的．

3.1.4 质点系的角动量定理和角动量守恒定律

为把角动量定理从质点推广到质点系，应该把每个质点的角动量定理方程列出来，再求和，从而得到整个体系的角动量定理．其中，每个质点都可能受到外力和内力，因此，必须研究所有内力的力矩之和（见图3-2）．根据牛顿第三定律，

F _ij ＝- F _ji 且 F _ij ∥ r _ji

（ r _ji ≡ r _j - r _i 是质点 j 与质点 i 之间的相对位矢），质点 i 、 j 的内力矩之和为

r _i × F _ji ＋ r _j × F _ij ＝- r _i × F _ij ＋ r _j × F _ij ＝（ r _j - r _i ）× F _ij ＝ r _ji × F _ij ＝ 0 ，

其中最后一步用到了 F _ij ∥ r _ji 的条件．因此， 一对内力矩之和为0 ，从而不影响质点系的总角动量．

该结论也可以从图3-2中看出．在图中，力矩 r _i × F _ji 和 r _j × F _ij 显然方向相反，而其大小又相等，因为两相互作用力具有相同的作用线和相同的力臂：

| r _i × F _ji |＝ F _ji r _i sin θ _i ＝ F _ji h ＝ F _ij r _j sin θ _j ＝| r _j × F _ij |，

因此，二者之和为 0 ．

于是，对于一般的质点系，有

即所有 外力矩 之和等于系统总角动量的变化率．这就是 质点系的角动量定理 ．

如果外力矩之和为 0 ，那么质点系的角动量将保持不变．这就是 质点系的角动量守恒定律 ．作为一个例子，考虑一些天体系统的旋涡盘状结构．宇宙中存在着各种各样的天体系统，它们中许多都具有旋转的盘状结构．例如，银河系最初是一团极大的弥漫气体云，具有一定的初始角动量 L ．气体云在内部相互间的万有引力作用下逐渐收缩，速度越来越大．但角动量守恒要求粒子速度的增大必须主要体现为横向速度（即绕 L 轴的速度分量 ）的增大（因为半径减小了），而不是径向速度（即指向 L 轴的速度分量）的增大．这意味着气体云难以进一步向转动轴收缩．但是，气体云在平行于 L 轴的方向收缩时，就不存在这个问题．因此，银河系就演化成了朝一个方向旋转的盘状结构．据估计，银河系的直径约为其中心厚度的10倍． J3jNTpKfPdFKuZMhLPnyCFgYrs0DNbuOC22YA6NDlMNbGeJOcM0ZmBg3pmTcRC93