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2.6 碰撞问题

当两个或两个以上的物体相遇,物体之间的相互作用时间非常短暂,这种现象就称为碰撞.物体在碰撞时,相互作用力一般很大,远大于其他作用力.因此,我们在研究物体碰撞时,通常忽略其他作用力,仅考虑碰撞物体之间的相互作用内力.而且,由于碰撞过程较为复杂,又很迅速,故在研究碰撞时,我们只考虑物体碰撞前后的运动状态的变化,不去研究具体的碰撞细节.

如果两个小球碰撞前的速度方向在两球心的连线上,则碰撞后的速度方向也在这一连线上,这种碰撞称为 对心碰撞 .如图2-7所示,设质量为 m 1 m 2 两个小球发生对心碰撞, v 10 v 20 为碰前两球的速度, v 1 v 2 为碰后两球的速度,由动量守恒定律,有

图2-7 两球的对心碰撞

显然,该式无法确定碰撞后两球的速度,它们还取决于两球的材料.牛顿从实验中发现,保持小球的材料不变而改变其他因素(如质量、速度)时,两球在碰撞后的分离速度与碰撞前的接近速度的比值是一个常数.因此牛顿引入 恢复系数 的概念来描述这种特征:

如果 e =0,则 v 2 v 1 ,即两球碰撞后以相同的速度运动,称为 完全非弹性碰撞 .如果 e =1,则分离速度等于接近速度.后面将会发现,此时碰撞前后总动能守恒,故是 弹性碰撞

有了(2.41)和(2.42)两式,碰撞后的结果就完全确定了.联立它们,解得

利用该结果,容易求得前后动能的减少为

我们可以分几种情况来讨论.

对于弹性碰撞, e =1.根据(2.44)式,前后动能不变,即机械能是守恒的.又由(2.43)式,有

对于完全非弹性碰撞, e =0.根据(2.44)式,机械能损失达到最大.而根据(2.43)式,可得

如果两球质量相等,即 m 1 m 2 m ,则由(2.43)式,有

也就是说,此时快球速度的减小量与慢球速度的增大量相同.特别地,如果 e =1,则

v 1 v 20 v 2 v 10

即质量相等的小球发生弹性碰撞后交换速度.

考虑有一个球质量很大且静止的情况,例如 m 2 m 1 v 20 =0.代入(2.43)式,有

v 1 ≈- ev 10 v 2 ≈0,

即碰撞后,质量很大的球几乎仍然保持静止,而质量很小的球几乎以原速率的 e 倍被反弹回去.乒乓球撞击墙壁或地面,就是这种情况.该式为恢复系数提供了简单的测量手段. 3of8vc+qSXF7S9t0tt12YSpWY5oyhSf2ffPayUQuUhIYaHo6+q+8JVWt36GgL6/1

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