2.6 碰撞问题

当两个或两个以上的物体相遇，物体之间的相互作用时间非常短暂，这种现象就称为碰撞．物体在碰撞时，相互作用力一般很大，远大于其他作用力．因此，我们在研究物体碰撞时，通常忽略其他作用力，仅考虑碰撞物体之间的相互作用内力．而且，由于碰撞过程较为复杂，又很迅速，故在研究碰撞时，我们只考虑物体碰撞前后的运动状态的变化，不去研究具体的碰撞细节．

如果两个小球碰撞前的速度方向在两球心的连线上，则碰撞后的速度方向也在这一连线上，这种碰撞称为 对心碰撞 ．如图2-7所示，设质量为 m ₁ 和 m ₂ 两个小球发生对心碰撞， v ₁₀ 和 v ₂₀ 为碰前两球的速度， v ₁ 和 v ₂ 为碰后两球的速度，由动量守恒定律，有

显然，该式无法确定碰撞后两球的速度，它们还取决于两球的材料．牛顿从实验中发现，保持小球的材料不变而改变其他因素（如质量、速度）时，两球在碰撞后的分离速度与碰撞前的接近速度的比值是一个常数．因此牛顿引入 恢复系数 的概念来描述这种特征：

如果 e ＝0，则 v ₂ ＝ v ₁ ，即两球碰撞后以相同的速度运动，称为 完全非弹性碰撞 ．如果 e ＝1，则分离速度等于接近速度．后面将会发现，此时碰撞前后总动能守恒，故是 弹性碰撞 ．

有了（2.41）和（2.42）两式，碰撞后的结果就完全确定了．联立它们，解得

利用该结果，容易求得前后动能的减少为

我们可以分几种情况来讨论．

对于弹性碰撞， e ＝1．根据（2.44）式，前后动能不变，即机械能是守恒的．又由（2.43）式，有

对于完全非弹性碰撞， e ＝0．根据（2.44）式，机械能损失达到最大．而根据（2.43）式，可得

如果两球质量相等，即 m ₁ ＝ m ₂ ＝ m ，则由（2.43）式，有

也就是说，此时快球速度的减小量与慢球速度的增大量相同．特别地，如果 e ＝1，则

v ₁ ＝ v ₂₀ ， v ₂ ＝ v ₁₀ ，

即质量相等的小球发生弹性碰撞后交换速度．

考虑有一个球质量很大且静止的情况，例如 m ₂ ≫ m ₁ ， v ₂₀ ＝0．代入（2.43）式，有

v ₁ ≈- ev ₁₀ ， v ₂ ≈0，

即碰撞后，质量很大的球几乎仍然保持静止，而质量很小的球几乎以原速率的 e 倍被反弹回去．乒乓球撞击墙壁或地面，就是这种情况．该式为恢复系数提供了简单的测量手段． yT3DbFmBABVlmaWoaAJ+NTetOjCLctpyqDRL5M8ZTnSEfsb9EhBw+/RxXXJJfVpZ