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在上一节讨论保守力做功时，我们知道，保守力做的功与质点运动的路径无关，仅由质点的始末位置决定．这一条又等价于力沿任意闭合路径做功之和为0．那么，这种性质还有没有更深刻的内涵呢？
由几种保守力做功的表达式（2.22）～（2.24）式可以看出，保守力做的功总是可以写为一个 由位置决定 的函数 E p 的减少 [1] ，即
对于上节的重力、万有引力和弹性力，根据（2.22）～（2.24）式，这个函数分别为
这个函数称为 势能函数 ，简称 势能 ．所以，保守力的又一等价说法是：存在（或可以定义）势能．而（2.26）式则说明，保守力做了多少正功，势能就减少多少．
在（2.26）式中，如果固定起点 a （重新记为 O 点），让 b 变为任意点 P ，并颠倒积分上下限，就可以得到任意点 P 的势能：
这就是已知保守力求其势能函数的计算式，其中 O 点的势能 E pO 是任意的．这是因为势能的定义（2.26）式只是定义了任意两点势能的差值，并没有给出势能的绝对大小．如果取 E pO ＝0，即令 O 点为 势能零点 ，那么其他位置的势能就唯一确定了．
与条件（2.26）式等价的无限小形式是
该式的得出只要考虑无限小过程中保守力的做功即可．它同样反映了保守力做正功时势能减少的约定．所以，要确定某力是否是保守力，或者要确定某保守力的势能，我们可以只计算其元功．如果该元功不能写成全微分的形式，那么该力就是非保守力．如果该元功能够写为一个函数的全微分的形式，那么该力就是保守力，同时还得到了它对应的势能——所得函数添负号．上节的例2.4的最后就是这样的一个例子，其相应的势能为- x 2 y ．
从上面的讨论可以看出，势能的定义是与保守力的条件紧密相关的，它完全由保守力决定．保守力的形式不同，其对应的势能函数形式也不同．此外，势能是一个相对量，它的值与势能零点的选择有关．
需要明确的是， 势能是属于相互作用的各物体的 ，而不是属于某个物体．例如，我们常说的“重物的重力势能”其实是指“重物与地球之间的重力势能”．设想把重物固定在原处，但把地球移走，此时该物体还具有跟以前一样的重力势能吗？所以“重物的重力势能”并不是只跟该重物有关，更是跟它与地球所构成的系统有关．所以，一般地，我们应该谈论的是“ A 与 B 之间的势能”，因为 势能取决于二者的相对位置 ．仅当与 A 相互作用的物体 B 固定或近似固定时，此时谈论“ A 的势能”才有意义．正是由于地球可以视为静止，我们才能认可“重物的重力势能”这种说法．
动能定理（2.13）或（2.15）式可以推广到质点系．此时，就像质点系的动量定理（2.9）式需考虑内力冲量之和一样，这里需考虑内力的做功之和．然而，牛顿第三定律虽然能保证所有内力的冲量之和为0，但不能保证所有内力做功之和为0．所以，虽然内力不会改变系统的总动量，但可能会改变系统的总动能．这样的一个例子是，正负电荷在吸引力（内力）的作用下体系的总动能会增加．所以，如果质点系的动能有变化，一般地这来自内力做功 A i 和外力做功 A e 两个方面．此时 质点系的动能定理 为
其中 E k 为系统的总动能．
下面简单讨论一下内力做功问题．设
f
ij
为质点
i
对质点
j
的作用力，则一对内力
f
ij
和
f
ji
做功之和
ij
为
其中用到了牛顿第三定律．利用相对位矢 r ji ≡ r j - r i （质点 j 相对于质点 i 的位矢），则
其中d r ji 为质点 j 相对于质点 i 的位移，简称 相对位移 ．因此，一对内力做功之和即相互作用力与相对位移的点积．同时，由于力 f ij 沿连线方向（即 r ji 的方向），因此只有在相对位移d r ji 沿连线的分量存在（即二者的距离| r ji |发生变化）时，才有内力做功．因此，（2.33）式又可写为
其中，当内力为斥力时， f ij ＞0．
例2.5 质量为 M 的木块放在光滑的水平面上，有一质量为 m ，速度为 v 0 的子弹水平射入木块．子弹在木块内运动距离 d 后相对于木块静止，此时木块向前滑动了一段距离．设子弹在木块内运动的阻力不变．（1）求当子弹相对于木块静止时，子弹与木块一起运动的速度 v 和木块滑过的距离 L ．（2）验证质点系的动能定理．
解： （1）子弹和木块构成的系统在水平方向不受外力，故该方向动量守恒．设子弹相对木块静止时，速度为 v ，取水平 v 0 方向为 x 轴正方向，有
mv 0 ＝( m ＋ M ) v ．
设子弹和木块间作用力为 f ．以木块为对象，外力对木块做功为 fL ，由动能定理，有
对子弹，外力对它做功为- f （ L ＋ d ），故有
联立以上各式，求解得
（2）外力对系统未做功： A e ＝0．只有内力（一对滑动摩擦力）做功．子弹对木块做正功，为 fL ，木块对子弹做负功，为- f （ L ＋ d ），故内力做功之和为
A i ＝- fd ．
该结论也可直接由（2.33）式得到．另一方面，系统动能的变化为
把上一小题的结果代入，即可看出
A e ＋ A i ＝Δ E k ．
在质点系动能定理（2.32）式中，把内力做功 A i 中具有特别性质的保守内力做的功 A i 保 分离出来，剩下的就是非保守内力做的功 A i 非 ．将这些结果结合起来，得到
A i 保 ＋ A i 非 ＋ A e ＝Δ E k ．
根据保守力的性质（2.26）式，保守内力做的功等于相互作用势能改变量的负值，故
如果定义系统的总动能和相互势能之和为系统的机械能 E ，即
那么（2.35）式表明：质点系在运动中，外力和非保守内力对系统所做的功之和等于系统机械能的增量，这就是 功能原理 ．
当不存在外力做功和非保守内力做功时，（2.35）式给出
上式表明：当系统内只有保守力做功时，质点系的机械能守恒．这就是 机械能守恒定律 ．
一个不受外界作用的系统称为孤立系统．对于 孤立系统 ，外力对系统做的功为零．当系统由于运动而状态发生变化时，系统内有非保守力做功，系统的总机械能就不再守恒．然而，如果引入更为广泛的能量概念（例如电磁能、化学能、热能和原子能等）后，大量实验证明，一个孤立系统经历任何变化时，该系统的所有能量的总和保持不变．能量只能从一种形式转化为另一种形式，或从系统内的一个物体传给另一个物体．这就是 能量转化和守恒定律 ．能量转化和守恒定律指出，能量不能被产生，也不能被消灭，只能在不同形式间转化．能量是物质不同运动的一般量度．能量守恒定律是自然界的一条普遍的基本定律，机械能守恒定律仅是能量守恒定律的一个特例．
例2.6
在地球表面垂直向上以第二宇宙速度
发射一物体，
R
为地球半径，
g
为重力加速度，试求物体到达与地心相距为
nR
时所需的时间．
解： 设物体运动到距地心 x 时其速度为 v ，地球质量为 M ，在此过程中机械能守恒，有
因为
则
由此可得
即
积分得
[1] 这里的“减少”和（2.26）、（2.31）式中的负号是人为规定的，目的是为了后面出现 E k ＋ E p ＝ C 而不是 E k - E p ＝ C ．
