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动量定理阐明了力的时间积累跟物体运动状态改变的关系，那么力的空间积累呢？考虑一个质点，根据牛顿第二定律，有
上式两边点乘位移d r ＝ v d t ，得
下面计算 v ·d v ．根据点积的定义，
故
这是一个非常紧凑的公式．左边表示力的空间积累，右边是一个状态量的全微分．我们定义：左边的
称为
功（元功）
[1]
，右边的
称为
动能
，则（2.13）式表明，外力所做的功等于物体动能的增量．
把（2.13）式两边积分，得到
这是动能定理的有限形式．
可以看出，动能也是对物体运动状态的一种描述．力能够改变物体的运动状态，也就能够改变物体的动能，只是这种改变是通过 力的空间积累 ——功来实现的．所以，动能定理也是对力学的根本问题——力与运动的关系的定量回答．
功是力的空间积累效应，是一个非常重要的物理量，同时又比冲量要复杂．因此，有必要专门讨论一下功的概念．
考虑一个无限小过程，如图2-3所示．在此过程中，力所做的功由（2.14）式给出：
图2-3 力所做的功
该式可以做两种等价的理解：（1）力在位移方向的分量与位移的乘积；（2）位移在力方向上的分量与力的乘积．
功是一个标量，它没有方向，但有大小和正负，是一个代数量．功的正负由角
α
决定．当0≤
α
＜
时，
，力对物体做正功；当
α
＝
时，
＝0，力对物体不做功；当
＜
α
≤π时，
＜0，力对物体做负功．此时，我们也说，物体克服阻力做负功．
对于一个一般的过程，如图2-4所示，物体沿曲线运动从 a 点到达 b 点，沿这一路径力 F 做的功，可以通过对（2.16）式积分得到
图2-4 力沿曲线做的功
如果物体在一组力 F i 的作用下，沿曲线从 a 点到达 b 点，则合力 F 对物体做的功为
上式说明，合力所做的功等于各分力沿同一条路径所做的功的代数和．在SI国际单位制中，功的单位是焦耳，用J表示．
在直角坐标系中，力和元位移可以表示为
F ＝ F x i ＋ F y j ＋ F z k ，d r ＝d x i ＋d y j ＋d z k ，
这样，（2.17）式就可以写为
力在单位时间内所做的功称为功率．设力
F
在Δ
t
时间内做的功为Δ
A
，则在Δ
t
时间内的平均功率为
．当Δ
t
趋于零时，可得瞬时功率为
将功的表示式（2.16）式代入，有
也就是说，力的瞬时功率等于力和速度的点积．在SI国际单位制中，功率的单位是瓦特，用W表示．
功的数值一般与路径有关．在（2.17）式和（2.19）式中的积分标明了始末位置，但原则上还必须标明积分路径．但人们发现，有一类力所做功的大小仅与物体的始末位置有关，而与物体所经历的路径无关，这类力称为 保守力 ．比较常见的保守力有重力、万有引力、弹性力等．下面分别给出它们的功．
重力是最简单的保守力．设质点的质量为 m ，在重力作用下沿任意路径由 a 点运动到 b 点．在地球表面附近，重力的大小不变，方向竖直向下．选择地面为坐标原点， z 轴垂直于地面向上，则重力只有 z 方向的分量 G z ＝- mg ．代入（2.19）式，有
上式表明，重力的功只与质点的始末位置有关（而且只取决于始末高度），与所走过的路径无关．
对于万有引力，如图2-5所示，质量为 M 的质点保持静止在原点，质量为 m 的质点在 M 施与的万有引力作用下做曲线运动．设质点 m 相对于 M 的初末位置分别为 r a 和 r b ，则根据万有引力公式（2.3）式，有
其中 r ·d r ＝ r d r （在图中，d r 沿径向的分量就是d r ．也可参见（2.13）式的推导过程）．上式表明，万有引力做功只取决于半径的变化，与垂直于半径方向的运动无关．于是
图2-5 万有引力做的功
式（2.23）表明引力的功也只由质点的始末位置决定（而且只决定于始末距离），与所走过的路径无关．
弹性力满足胡克定律（2.4）式．考虑弹簧在 x 轴方向上伸缩，选择一维坐标的坐标原点在弹簧的自然长度处，有
显然，弹性力做的功也只由质点的始末位置决定．
上述各力做功的结果显示， 保守力做功仅由物体的始末位置决定，而与中间路径无关 ．由此马上得到， 保守力沿任意一条闭合路径做功之和为零 ，即
这是因为起点与终点重合了．（2.25）式也可以视为保守力的定义．
与此相反，摩擦力做功就不满足此性质．以在粗糙水平面上运动的质点为例，由于滑动摩擦力始终跟运动方向相反，故滑动摩擦力始终做负功．它沿闭合路径做功之和就只能为负数，不可能等于0．而且，它做的功显然跟路径有关：对于相同的始末位置，路程越长，滑动摩擦力做的负功越多．因此，摩擦力不是保守力．
例2.4 质点在 xy 平面内受外力 F ＝2 xy i ＋ x 2 j （SI）的作用，求质点沿如下不同路径从点 O （0，0）运动到点 A （1，1）的过程中，力 F 所做的功：
（1）路径 L 1 ：先沿 x 轴从 O 点运动到点 B （1，0），再平行于 y 轴运动到 A 点；
（2）路径 L 2 ：沿直线 y ＝ x 从 O 点到 A 点．
图2-6 例2.4题图
解：
（1）
其中对于路径 OB ， y ＝0，d y ＝0，故
对于路径 BA ， x ＝1，d x ＝0，故
故
A 1 ＝ A OB ＋ A BA ＝1J．
（2）对于直线 OA ，有 y ＝ x ，故
可以看出，尽管积分路径不同，但积分结果完全相同．我们还可以证明，沿其他任意路径得积分结果都是这个数值，从而说明该力为保守力．事实上，考虑题中所给的力在一般情况下的元功：
可见，该力所做的功必然等于函数 x 2 y 在终点和起点的函数值差，这当然跟路径无关．
[1]
功是过程量，故在无限小过程中的元功用
表示，以区别于函数（状态量）的全微分符号d，因为
一般不是某个量
A
的微分（详见第13章），只在特殊情况（即保守力）时才能如此．
