第一节
抽象的数学

数的来历

也许有的人会想，如果没有数该多好，那样我们就不用和数学打交道了。

其实，数是很讨人喜欢的，也是非常重要的，我们一天也离不开它。数是十分伟大的发明，也是人类祖先的一大创造。

在原始社会，数的概念就产生了。为了生存，人类要进行各种活动，比如说狩猎、捕鱼、种树等，在与这些猎物、果实和鱼等实物接触的过程中，人们就有了多和少的概念。也就是说，最早的数是和实物结合在一起的。人们开始懂得一个野果和一只野兔都是一个单位，两只山羊和两条鱼都是两个单位等，这就是人们最早对数的认识，数的概念也就是从这时起开始形成的。

在人们的脑海中已经形成数的概念以后，就开始寻找计数的方法。在最早的时候，就是借助手指、脚趾以及小石子这些工具来计数的。想一想小的时候，你们的父母是不是也教你们用手指计数呢？当父母说“一”的时候，你们就伸出一个手指；数“二”的时候，就伸出两个手指……

不管是用手指、脚趾还是用小石子等物体，它们的计数都是暂时的。你不可能总是举着几个手指不动吧！为了方便计数，聪明的原始人又发明了结绳计数和记号计数。结绳计数就是在绳子上打结，每一件物品打一个结；而记号计数则是在兽皮、树木或石头等物体上划记号，每一件物品划一个记号。这些记号，慢慢地就变成了最早的数学符号。数的概念就是在这些过程中逐渐发展起来的。

现在我们来想一想，我们的生活能不能离开数，我们所进行的各种活动又有哪一项缺少了数的参与？结果我们会发现，数存在于我们生活的各个角落，每一个细微的地方都有它的存在。如果真的没有了它，我们的社会就会急剧倒退，退到人类社会的最初状态——原始社会，那将是多么可怕的一件事呀！

神奇的进制

虽然结绳计数法已经可以解决一些问题，不过这样的计数方式也只能计量少量的物体，物体一多，就忙不过来了。如果遇到100个、1000个物体呢？打上这么多绳结还不得把人累死？随着社会的发展，人们所需要用到的数字肯定也会越来越大。在这种情况下，新的计数方法产生了。

由于数量太多的物体很难表示，所以人们就想到了当物体达到某一个数的时候，就做另外一个记号。以我们现在广泛使用的十进制为例，当有10个小石子的时候，就用另外一个大石子表示，依此类推。这样一来，数的表示就简单多了。除了十进制，还有二进制、八进制、十二进制、二十进制、六十进制等。

其他的进制又是怎么来的呢？其实这些进制都是人类通过观察所得到的，比如说二十进制，人的手指和脚趾加在一起正好是二十；又比如说十二进制，是因为在一年之中出现了12次月亮的盈亏等。只有二进制的产生是人类抽象思维的结果，是为了研究数的性质而建立的。

这些进制虽然没有十进制应用得那么广泛，可是却仍然很重要。比如说一年有12个月、一天有24小时、一小时有60分、一分钟有60秒等，都是它们发挥作用的体现。还有在计算机中，应用的可全部都是二进制。

古代的进制比较混乱，各种进制都有，但是应用最多的还是十进制。为什么十进制会受到这么多人的青睐呢？这可能与人的手指有关。我们说过，最早人们是用手指来计数的，但这只能计量10个以下的物体。后来，人们就想到了10个手指可以用一个小石子代替的办法，发明了十进制。人的手指是最灵活的，用到的地方也最多，所以由它而产生的十进制也是应用最为广泛的。

让人“绝望”的分数

把单位“1”或整体“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数。分母表示把一个物体平均分成几份，分子是表示这样几份的数。把分母平均分成分子份，表示这样的1份。

看吧，这就是分数，它们的长相就不太讨人喜欢。

为什么叫它们分数呢？就是因为它们总是喜欢把一个完整的物体搞得四分五裂。如将一个苹果平均分成三份，其中的一份就是三分之一个苹果；将一个梨平均分成五份，其中的两份就是五分之二个梨。记得在分苹果或梨的时候可一定要平均，要不分数可是不会放过你的。

分数的起源就是“分”。在原始社会的时候，人们都是集体劳动的，劳动果实也是大家共有的。可是谁都不希望自己的劳动果实全部交公，而自己却什么都得不到。于是人们就开始要求平均分配劳动果实，从这时起便已经开始有了分数的概念。如十家共同劳动，那么劳动成果就会被平均分成10份，每家会分到其中的1份。

自从分数出现了以后，社会就开始变得不安定起来。原本是相亲相爱的一家人，住在同一个房屋里面，可是当他们受到了分数的诱惑以后，就开始要分家，把好好的一个家给拆散了。更要命的是，分数总是主张绝对的公平，如果分得不均匀，就会引发战争。很多人因此而失去了亲人和朋友，这都是分数惹的祸。

在分数的眼里，没有什么东西是不能分的。所以即使你遇到了什么困难，也最好别去麻烦它，因为它也想不到什么好办法，它唯一的办法就是“分”。当然，这也可以解决很多人的实际问题。不过对于有些事情，我们实在没有必要这么较真儿。

黄金分割

黄金分割是什么？如果你是一个爱美又懂得欣赏美的人，那么你就一定要记住它，因为它实在是太有用了。我们所看到的很多美景，都与黄金分割有着莫大的关联，这其中包括雄伟的建筑、奇妙的图形、雅致的工艺品以及神奇的植物，等等。而且如果你的身体符合黄金分割率，也会显得特别匀称、迷人。

让我们先来画一条线段，然后再在线段的上面寻找一点，将线段分成两段。这一点可不是随便找的，在分割完成以后，你要保证其中一部分与整个线段的比值和另外一部分与这部分的比值相等。

这个比值是0.618，就是黄金分割点。其实我们所说的黄金分割指的就是这个比值，因为按照这个比例设计出来的造型十分优美，所以才称它为黄金分割。

0.618　，这个看似普通的小数，可是世人的宠儿，在很多地方都可以看到它的身影。很多生活用品和工艺品的宽长之比就是0.618；在建筑物中，也多次采用0.618这个数字；就连我们人体也充分利用了它，肚脐以上的部分与整个身体的比值就是0.618；在绘画作品中，作品的主题都会放在整个画面的0.618处；在弦乐器中，艺术家们也会将琴马放在琴弦的0.618处。所以说，0.618在绘画、雕塑、音乐、建筑等领域，以及在管理和工程设计等方面，都起着非常重要的作用。

如果你曾经去看过演出，那么你有没有留意报幕员上台的时候不是站在舞台的中央，而是站在台上的一侧呢？你们知道这其中的原因吗？

对，他站在了黄金分割点，站在那里看上去更美观。不仅如此，站在黄金分割点上，还更有利于声音的传播，使我们听得更清楚。

以帕提农神庙为例，别看它现在只剩下一座石柱林立的外壳，以前它可威风着呢！因为它是希腊全盛时期建筑与雕刻的主要代表，是古希腊雅典卫城中最大的一座神庙，也是人类艺术宝库中一颗璀璨的明珠。而这座伟大的建筑，就充分利用了黄金分割。简单地说，帕提农神庙的正面符合多重黄金分割矩形。而黄金分割矩形的最大特点就是将其再分割以后，还可以得到一个等比的矩形和一个正方形。将最大的黄金分割矩形再分割，就得到了二次黄金分割矩形和一个正方形。二次黄金分割矩形构成楣梁、中楣和山形墙的高度，而正方形则确定了山形墙的高。最小的黄金分割矩形又确定了中楣和楣梁的位置。现在，你们应该清楚黄金分割有多么神奇和伟大了吧！

勾股定理

勾股定理，听起来似乎很深奥，可实际上不过就是两条直角边的平方之和与斜边的平方相等。

为什么这个定理被称做勾股定理呢？难道发明它的人叫做勾股？当然不是，哪有人会叫那么难听的名字？

其实，勾股定理是我国的叫法。因为在我国的古代，将两条直角边分别叫做勾和股（较长的一条叫做股，较短的一条叫做勾），而将直角的对边叫做弦，所以才将这个定理称为勾股定理，我们所熟悉的“勾3股4弦5”就是这么来的。但是外国人将它称为毕达哥拉斯定理，这次你猜对了，由于外国人以为最早发现勾股定理的人是古希腊的数学家毕达哥拉斯，所以才将它称为毕达哥拉斯定理。

百牛定理

也许你曾听人提起过百牛定理，不过你千万不要以为这个定理是关于牛的定理。事实上，这个定理的内容与牛没有任何关系，它只是我所熟悉的勾股定理的另外一种叫法罢了。在毕达哥拉斯发现这一定理以后，为了庆祝这一定理的发现，毕达哥拉斯学派宰杀了一百头牛酬谢和供奉神灵，所以才有了百牛定理的说法。

勾股定理揭示了直角三角形边之间的关系。例如：直角三角形的两个直角边a、b的值分别为3、4，则斜边c的平方=a的平方+b的平方，9+16=25，即c=5，则说明斜边为5。

认识π

π是什么你们一定都清楚，就是圆周率嘛！我们都知道圆周率应该是一个常数，而关于这个常数的数值，你的数学老师一定会告诉你，它介于3.1415926和3.1415927之间。在运算的过程中，我们则取值为3.14。不过也许有些力求精确的人对这样的数值并不满意，因为3.14只是一个近似的数值，它的后面明明还有很多位，为什么将它们全部舍掉呢？这当然是为了计算的方便，如果每次运算都要带一大堆的小数，到时你就会讨厌数学了。

祖冲之与圆周率

祖冲之是中国南北朝时期著名的数学家、天文学家和机械制造家。就是他推算出圆周率的真值应该在3.1415926和3.1415927之间，这是世界上获得的第一个具有七位小数的圆周率，比西方数学家早了1100多年。另外，祖冲之还确定了π的两个近似分数：22/7和355/113，使计算变得更加简单。

π的精确数值是多少呢？如果有人问你这个问题，你一定答不出来。事实上你也不可能答出来，因为迄今为止，还没有人可以回答这个问题。我们知道，π实际上就是圆周与圆的半径的比值，人们虽然知道它应该是一个常数，但是却始终无法算出它的精确值。人们从公元前2世纪开始，一直算到今天，虽然已经获得了数亿位，可是却仍然是一个近似值。所以也有人说这是科学史上的“马拉松”，但是这个比赛什么时候能到达终点，现在谁都说不清。

对称图形

我们所生活的世界充满了各种各样的图形，如果你们留心观察就会发现，有很多图形都是存在共同点的。

你能说出闹钟与飞机之间的共同点吗？对，它们都是对称的。

你能说说什么是对称吗？如果一个物体从中间分成两半儿，这两半儿是完全相同的，那它就是对称的。

不过这只是对称的一种情况，它们的共同点是它们都有一条对称轴，如果沿着这条对称轴把它们分成两半儿，那么对称轴两边的图形就是完全一样的。我们把这种有对称轴的对称图形称做轴对称图形。

还有一种对称图形，它没有一条对称轴，但是它有一个对称中心。也就是说，沿着图形的对称中心旋转180°以后，可以得到和原来的图形完全相同的图形。我们把这种有对称中心的对称图形称为中心对称图形。

要判断一个图形是轴对称图形还是中心对称图形，方法很简单，只要我们找到它的对称轴和对称中心就可以了。如果一个图形沿着一条线对折后可以完全重合，这个图形就是轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。如果一个图形在倒过来以后可以和原来的图形完全重合，这个图形就是中心对称图形，它的中心点就是对称中心。当然，有的图形可能既是轴对称图形，又是中心对称图形；也有的图形可能既不是轴对称图形，也不是中心对称图形。

现在，人们总是喜欢强调对称美，把什么东西都弄成对称的，事实上，就连我们人体也是对称的。对称虽然很美妙，可它也有可怕的地方。如果你来到了对称的世界，那么你所做的任何事情就必须都是对称的。你别想穿什么新奇的衣服，也别想搞什么新潮的造型，因为那会破坏了你本来的对称性。

不过，我们的生活还真是不能少了对称：如果飞机没有了对称，那么它在空中飞行的时候就会失去平衡，发生事故的几率也将大大增加。如果闹钟没有了对称，表针的走动就不再均匀，这样就难以保证时间的准确性。如果我们人体不再对称，那将变得更为可怕。你有没有想过，如果你的两只眼睛一只长在眉毛下，而另一只长在鼻子上；你的两只耳朵一只长在脑袋的一侧，而另一只长在头顶上……那将是多么可怕的一件事！

仅有的五种正多面体

今天，让我们一起走进多面体的世界，去认识几个特殊的朋友。事实上，我们就生活在一个多面体的世界中，如果你是个善于观察的人，就一定会发现，我们的周围存在着很多多面体，比如说我们的书本、电视、冰箱等。如果让你给多面体下一个定义，你应该怎么下呢？其实这很简单。首先，它必须是一个立体，而且是由多边形所围成的立体。当然，多边形的数量至少应该是四个。那么我们今天的主角是哪几位特殊的朋友呢？它们就是仅有的五种正多面体，即是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体。

所谓正多面体，当然要首先保证它是一个多面体，而它的特殊之处就在于它的每一个面都是正多边形，而且各个面的正多边形都是全等的。也就是说，将正多面体的各个面剪下来，它们可以完全重合。虽然多面体的家族很庞大，可是正多面体的成员却很少，仅有五个。

这几个正多面体分别是由什么组成的呢？

正四面体是由四个全等的等边三角形组成的；正六面体是由六个全等的正方形组成的；正八面体是由八个全等的等边三角形组成的；正十二面体是由十二个全等的正五边形组成的；正二十面体是由二十个全等的等边三角形组成的。

圆与球

圆在我们的生活中几乎随处可见：车轮，杯子，皮球，等等。圆的东西不仅样子美观，给人视觉上的享受，而且还很实用。试想一下，如果车轮不是圆的，那车子还能走得这么平稳吗？如果皮球不是圆的，那还拍得起来吗？再想一想，你是不是更喜欢圆圆的月亮呢？圆圆的脸蛋是不是更讨人喜欢呢？所以说，我们偏爱圆也是很有道理的。

球是什么？它和圆又有什么关系呢？很明显，球也是圆的，它们的最大区别就在于圆是平面图形，而球是立体的。换句话说，球是由无数个圆组成的。如果把皮球的气放光，将它压扁，那么它就是一个圆。

为什么自然界有这么多的圆形和球体呢？难道只是为了美观吗？当然不是，它们还有更实用的一面。现在我们来做一个简单的圈地游戏：给你们每个人一条绳子，这条绳子的长度是相等的，都是1米。你们可以随意用它圈出一个图形，然后再计算出你所圈图形的面积。

来看看结果吧：如果圈的是正方形，它的边长是25厘米，面积就是625平方厘米；如果圈的是长方形，长是30厘米，宽是20厘米，面积就是600平方厘米；如果圈的是等边三角形，边长约是33厘米，面积就约等于472平方厘米；如果圈的是圆形，得到的面积约为800平方厘米。

分析一下计算结果，我们就可以发现，同样长的绳子，圈出的圆是面积最大的。这是圆的另一个优势，也是它深受人们喜爱的原因之一。既然同样的材料做出的圆面积最大，那么它所能盛的东西自然也就越多，这就是为什么我们平常所见到的杯子、酒桶等物体都是圆柱形的主要原因。

数的家族

数字是一个十分庞大的“家族”。人们最早认识的数是类似1，2，3，4……这样的自然数。后来又逐渐出现了零、负数、分数和小数。近代以来，科学家又提出了有理数、无理数、虚数和实数等概念。

自然数是指用以计量事物的件数或表示事物次序的数，即用数字0，1，2，3，4……所表示的数。自然数由0开始，一个接一个，组成一个无穷集体。自然数集有加法和乘法运算，两个自然数相加或相乘的结果仍为自然数，也可以做减法或除法，但相减和相除的结果未必都是自然数，所以减法和除法运算在自然数集中并不是总能成立的。自然数是人们认识的所有数中最基本的一类，为了使数的系统有严密的逻辑基础，19世纪的数学家建立了自然数的两种等价的理论，即自然数的序数理论和基数理论，使自然数的概念、运算和有关性质得到严格的论述。

序列……-2，-1，0，1，2……中的数称为整数。整数的全体构成整数集，它是一个环，记做Z。

在整数系中，自然数为正整数，称0为零，称-1，-2，-3，…，-n……为负整数。正整数、零与负整数构成整数系。

无限不循环小数和开根开不尽的数叫无理数，比如π。

而有理数恰恰与它相反，整数和分数统称为有理数，包括整数和通常所说的分数，此分数亦可表示为有限小数或无限循环小数。

实数包括有理数和无理数。其中无理数就是无限不循环小数，有理数包括整数、零和分数。

计算工具

说到计算工具，我们首先想到的就应该是计算器。它可是既方便，又快捷，给我们省了不少事儿。不过计算器虽不是什么高科技的产品，但它出现的时间也比较晚。也就是说，在相当长的一段时间内，人类是没有计算器可用的。那么在没有计算器的年代里，人们又是通过什么工具来计算的呢？

人类早期的计算活动其实就是计数，而最早用于计数的工具当然就是我们的手指和脚趾。另外，早期的计数工具还有小石子等。稍晚些时候，还出现了我们前面所提到的结绳计数，也就是通过绳结来计数。在美国纽约的博物馆里面，至今还珍藏着一件从秘鲁出土的打了绳结的绳子。

而在我国古代广泛使用的一种计算工具，则是算筹，使用了将近两千年。这可是我国独创的，而且是一种非常有效的计算工具，由此可见我国古代的数学是非常发达的。算筹出现在春秋时期，可以说是世界上最古老的计算工具。不过，你也不要把它想象得太过神秘，它实际上就是一种小竹签。由于在那个时候造纸术还没有发明，也就是说，那时是没有纸可用的，所以人们就将这些小竹签摆成不同的行列，以此来进行数学运算。

不过，每天都要摆弄这么多小竹签是一件很麻烦的事。竹签的数目一多，就很容易混乱。在这样的情况下，算盘出现了。如果说这个算筹距离我们太远，我们不太熟悉的话，那么算盘对于我们来说就不能算是陌生了。很多人家里现在都还存有算盘，很多学校也都开有珠算课。其实算盘就是我国古代人民在长期使用算筹的基础上发明的，距今已经有六百多年的历史了。我们在学习珠算的时候，都会首先学习珠算口诀，如果能记牢这些口诀并加以灵活运用，算盘绝对是一个很好的计算工具。

再接下来就是计算机了。早在1642年，法国数学家帕斯卡就发明了世界上第一台机械计算机，但是这台计算机只能进行加减法计算，而且操作复杂，因此实用性不大。到了18世纪，人们又在此基础上发明了手摇计算器，这台计算器不但操作比原来简单了，而且还可以进行加减乘除运算了。直到1946年，世界上第一台电子计算机问世了，到如今已经发展到了第四代，也就是我们今天所用的电脑。而那种小型的计算器，如今也已经变得非常普遍了。

数学名题

既然数学的历史那么悠久，而人们对它的研究也从来都没有停止过，为什么我们都觉得无比枯燥的数学会让这么多人萌生如此浓厚的兴趣呢？究竟是什么吸引着他们一直研究下去呢？原来，在学习数学的过程中，也会有很多有趣的问题。一旦你对某个事情产生了兴趣，那么关于它的一切你就再也不会觉得枯燥乏味了。在数学的发展史上，有很多著名的数学名题是很值得探索和研究的，而且也十分有趣。今天就让我们共同来研究几个有趣的问题，也许你会忽然间改变自己对数学的态度。

既然称之为名题，那就应该是有一定的难度的，不然也不会流传这么多年。首先我们来说一说七桥问题。问题发生在18世纪的哥尼斯堡（今属俄罗斯），在这座小城里有七座桥连接着大河两岸以及中心的两个小岛。城里的人闲来无事，就想了这么一个问题：一个人能不能既不重复又无遗漏地走完这七座桥，然后再回到原点呢？这听起来好像在走迷宫，不过就是这样一个问题，却难倒了成千上万的市民和游客。

最后是谁那么聪明，解开了这个难题呢？是伟大的数学家欧拉。看了右侧的图你就会明白了，要解决这个问题，只要想一想怎么用一笔将这幅图画出来就可以了。你们可以自己试着画一画，如果能画出来，那你就比欧拉还要聪明了。为什么这么说呢？因为经过欧拉的证明，这样的画法是不存在的。每个点既然有进去的路线，就必须有另外一条出去的路线，这样才能保证我们所走过的路线不重复，也就说明每个点所连接的边数必须是偶数。可是我们看看右图中的这几个顶点，全部都是奇数，所以我们不可能既不遗漏又不重复地走过这七座桥。1736年，欧拉据此发表了“一笔画定理”：一个图形要能一笔完成必须符合两个条件，即图形是封闭连通的和图形中的奇点（与奇数边相连的点）为0或2。欧拉的研究开创了一门新的几何学分支——位置几何学。

接下来要说的这个问题是关于兔子的。别看小白兔那么可爱，但是它也会给我们出难题。在13世纪的时候，意大利的数学家斐波那契在《算盘书》中曾提出了一个有趣的兔子问题，问题是这样的：有个人年初的时候抱来了一对小兔子，小兔子一个月后可以长成大兔子，而大兔子在一个月内又会生出一对小兔子。如果我们假设所有的兔子都很健康，那么在年底的时候，这个人可以拥有多少对兔子呢？

这个问题看起来似乎并不难，只要一对一对地算，你就可以得到正确的答案。但是这样的方法是很麻烦的，其实，我们完全可以用更简单的方法来解决它。让我们看一看这其中的奥妙吧！第一个月的时候，当然只有一对兔子；第二个月的时候，兔子长大了，但是仍然是只有一对兔子；到了第三个月，大兔子下了一对小兔子，我们就有了两对兔子；第四个月，原来的大兔子又下了一对小兔子，而原来的小兔子也长成了大兔子，我们就有了三对兔子；第五个月，两对大兔子分别下了一对小兔子，而原来的小兔子也长成了大兔子，于是我们就有了五对兔子……

让我们将每个月的兔子对数写出来：1，1，2，3，5，8，13，21，34……仔细观察这个数列，我们就可以发现，这其中是有规律可循的，那就是前两个数的和等于后面的数。知道了这个规律，我们就不用这样一点儿一点儿地算了，直接将前两个数相加，得到第十三个数的时候，就是我们想要求得的数字。通过计算，第13个数是233。也就是说，在年底（第二年初）的时候，主人可以拥有233对兔子。人们为了纪念斐波那契，也将上面的数列称为斐波那契数列。斐波那契数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有直接的应用，在自然界中更是广泛存在的。斐波那契数经常与花瓣的数目相结合，例如，延龄草、野玫瑰、南美血根草、大波斯菊、金凤花、百合花、蝴蝶花的花瓣的数目都具有斐波那契数。

斐波那契数还可以在植物的叶、枝、茎等排列中发现。例如，在树木的枝干上选一片叶子，记其为数0，然后依序点数叶子（假定没有折损），直到到达与那片叶子正对的位置，则其间的叶子数多半是斐波那契数。叶子从一个位置到达下一个正对的位置称为一个循回。叶子在一个循回中旋转的圈数也是斐波那契数。在一个循回中叶子数与叶子旋转圈数的比称为叶序（意即叶子的排列）比。多数的叶序比呈现为斐波那契数的比。

当然，历史上的数学名题是很多的，今天我只举了其中的两个例子。其实这些问题都是非常有趣的，你们可以自己去翻阅一些这方面的书籍，没准你会从此爱上数学呢！

概率的秘密

说实话，概率是非常让人讨厌的，因为它总是充满了不确定。而且它的名声也不太好，因为人们总是喜欢把它和掷色子等赌博活动联系在一起。

现在来回答一个问题，当我们将硬币抛向空中的时候，它落地后是正面还是反面呢？

有的人会说：硬币落下来之后可能是正面，也可能是反面，这让我们怎么猜呢？不过，只要我们不都猜正面或都猜反面，就一定会有人猜中，因为它只有这两种可能性。

那硬币落地的时候有没有可能既不是正面也不是反面呢？当然不能，硬币落地只有两种情况，不是正面就一定是反面。

这就是我们今天所要认识的概率。如果一件事情所产生的结果并不是只有一种情况，那么它所产生的结果就存在一个概率的问题，而且所产生的各种情况的概率的总和一定是1。像我们刚才所说的硬币问题，显然它的结果就只有两种，那么发生其中一种结果的可能性就是1/2。也就是说，发生两种情况的几率是均等的，二者各占一半。用一个介于1（表示一定发生）和0（表示不发生）之间的数，就可表示某一事件发生的概率。法国人帕斯卡于1642年用掷色子的方法研究出了概率的基本原理法则。

鸽笼原理

三只鸽子要飞进两个笼子，那么其中一定有一个笼子里面有两只鸽子。道理很简单，如果一个笼子只装一只鸽子，那么两个笼子就只能装下两只鸽子，那么另外的一只怎么办呢？它一定也要飞进笼子，不管它飞进哪一个，都会使那个笼子里面变成两只鸽子。扩展开来，如果有n+1只鸽子要飞进n个笼子，那么至少有一个笼子里面有两只或两只以上的鸽子。鸽笼原理是一个非常简单但却很实用的原理，而且了解鸽笼原理，对于我们研究概率也是很有帮助的。根据鸽笼原理，我们可以解决很多问题。比如说在13个人中，至少有两个人会出生在同一个月份；在32个出生在同一月份的人中，至少有两个人会出生在同一天，等等。

学习了概率的知识以后，你就可以解决生活中的很多实际问题。比如说很多人热衷于买彩票，甚至还通过种种方法来预测下一期的开奖号码，可是这种预测真的有效吗？当然不是。有些人认为很久都没有出现的号码在这一期出现的几率比较大，也有人认为上期已经出现过的号码这期就不会再出现。其实这种想法都是错误的，因为每一个号码在每一期所出现的概率都是相等的，没有什么大小之分。

著名的四色猜想

四色猜想来自英国，被称为是近代世界三大数学难题之一。一位在科研部门搞地图着色工作的大学毕业生在工作中发现了一个有趣的现象，那就是每幅地图都可以用四种颜色来着色，使得拥有共同边界的国家都被染上不同的颜色。

数学家们永远都那么好奇，在此之后，英国的数学家凯利就正式向伦敦数学学会提出了这个猜想：任何地图着色只需要四种颜色就足够了。也曾有科学家对此做出了证明，可遗憾的是，这些证明在后来都被证明是错误的。直到电子计算机问世以后的1976年，两位美国的数学家——阿佩尔和哈肯在两台不同的电子计算机上苦苦奋战了1200个小时，做了1000亿个判断，才完成了四色猜想的证明。

拓扑

拓扑是几何学的一个分支，而且是一门非常有趣的学问。还记得我们在前面讨论过的哥尼斯堡七桥问题吗？它可是为拓扑学的发展做出了很大贡献。

虽然说拓扑学的历史很悠久，可以追述到18世纪的数学家欧拉和高斯的研究，但是其真正的发展，却是从19世纪末才开始的。通常的几何学所研究的内容无非就是物体的长短、大小、面积、体积等度量性质和数量关系，可是拓扑却完全不把这些放在眼里，它特立独行，只做自己喜欢的事情。

既然拓扑不会考虑普通几何学所研究的东西，那它要研究什么呢？

简单地说，拓扑学研究的是物体本身的性质。在拓扑学看来，没有任何物体是不能弯曲的。也就是说，任何物体的形状都是可以发生改变的。而拓扑要研究的就是当有形物体的形状发生一系列的变化时，怎么样才能保持它的性质不变。比如说一块橡皮泥，你可以把它捏成小白兔，也可以把它捏成小鸭子，但不管它的外形是什么，它的本质都是橡皮泥。这就是拓扑所要研究的问题。

看橡皮泥捏成的三个物体，也许你会觉得它们是完全不同的三样东西，可是在认识了拓扑以后，你就不能再这样说了。因为这三样东西虽然摆出了不同的姿态，可是我们经过拓扑的训练，便可以一眼看穿它们的真面目，其实它们是完全相同的。别忘了，在拓扑的世界里，是没有什么正方形、圆形和三角形之分的。

回到前面的七桥问题，欧拉在解决问题的时候不是也没有考虑它的大小和形状吗？他所考虑的只是点和线的个数，所以才画出了那张原理图。这就是拓扑思考问题的出发点。拓扑学就是要训练我们透过事物的表面看本质，这点是非常重要的。

分形几何

20世纪70年代，美国的计算机专家曼德罗特创立了一门新的学科，称分形几何，是专门研究不规则曲线图形的。

什么是分形几何？我们首先来观察一下雪花的形状，当然，我所说的雪花是完整的雪花，你必须保证它不会融化。也许你们可能觉得这根本就不用观察，因为我们都知道雪花是六角形的。可是我现在要说的是，这个答案并不是完全正确的。为什么这样说呢？因为雪花有着一种特殊的特性——自相似性。

自相似性指的是物体的局部与整体在形态、性质、功能等方面具有统计意义上的相似性。比如磁铁，将磁铁切出一小部分，这部分与原来的磁铁一样，都具有南北极，而且都具有磁性。这种具有自相似性的物体，适当地放大或缩小它的几何尺寸，它的整个结构并不会发生变化。

现在你应该知道雪花的形状了吧！没错，雪花也是这样的。如果将雪花的每一部分放大，就又可以得到一片雪花。一片晶莹剔透的雪花，实际上是由无数个与它完全相同、只是比它小很多倍的小雪花构成的。如果我们人类也具有自相似性，那就是说我们的身体可以分成很多个小的我们，那是多么可怕的一件事呀！

分形几何还有更为神奇的地方，它可以把我们带到分维的世界里面。我们都知道，我们所生活的空间以及我们周围的物体都是有维数的，比如说：点是零维的，一条直线是一维的，一个平面是二维的，一个立体是三维的，等等。可是你们听说过几分之几维吗？这听起来好像很悬，不过分形几何却可以办得到。

比如说一根树干，它要分出很多树枝，而树枝还要再分出很多细枝，那么要测量它的周长，你应该怎么办呢？没错，这个时候我们就要用到分形几何。因为我们既不能把它看成是一维的，也不能把它看成是二维的，要解决这个问题，唯一的办法就是分维。所以说，分形几何是很有用的，自然界的很多物体，我们都可以用分形几何去测量。

麦比乌斯圈

麦比乌斯圈是什么？它是一个圆圈吗？如果你够聪明，就一定可以想到，它应该是一个圆圈，但绝对不会是一个简单的圆圈，要不就不会给它取个名字了。看，这就是传说中的麦比乌斯圈。你们是不是在想，它怎么七扭八歪的？没错，它就是一个被扭曲了的曲面。因为它是被德国的数学家麦比乌斯发现的，所以才叫它麦比乌斯圈。据说曾有人提出这样一个问题：将一个长方形的纸条首尾相连，做成一个纸圈，如何只用一种颜色在纸圈的一面涂抹，最后将纸圈全部涂上颜色而没有空白呢？这个问题可难倒了不少人，就连大数学家麦比乌斯也一度为它困惑。他百思不得其解，于是决定出去走走，清醒一下大脑。当他走到玉米地时，看到了一片肥大的玉米叶子，弯曲着耷拉下来，他顺手撕下一片，将其对接成一个圆圈，结果他惊喜地发现，这就是他梦寐以求的圆圈。所以说，麦比乌斯圈的发现还有玉米叶的一份功劳呢！

麦比乌斯圈非常有用，我们的立交桥和道路就是根据它的原理而建造的，可以避免车辆和行人的拥堵，缓解交通压力。

如果我们沿着麦比乌斯圈走上一圈，就可以在不重复的情况下走完所有的地方，然后再回到原点。麦比乌斯圈实际上也属于拓扑学的范畴，主要研究单侧面问题。现在你是不是更喜欢拓扑学了呢？

自己可以制作麦比乌斯圈吗？当然可以，这其实非常简单。别看在发现麦比乌斯圈的时候绞尽了脑汁，可实际上，这种圆圈是很容易做成的。首先，你需要准备一个长纸带，然后将它的一端扭转180°，再将两端连接起来，这样麦比乌斯圈就做成了。如果要验证你所做的麦比乌斯圈是否正确，最简单的办法就是拿一只铅笔不离纸带一直画下去，看最后是不是能够画过纸带的所有地方，然后再回到起点。如果是，那么恭喜你，你的麦比乌斯圈就成功了！

错了吗

先仔细观察下面这幅画，然后再告诉我你在画中发现了什么？给你们一个提示，这其中是存在错误的。

我们看，画中的瀑布是从三层的小楼上面倾泻到底层的水池中的，可奇怪的是，画中给人的感觉是这些水在回到底层以后又沿着曲折的渠道流回了三层，这是有悖常理的。所以我们说这幅画的作者一定是一个没有生活常识的人，要不又怎么会出现这种错误呢？好了，现在就我们共同来认识一下这位画家吧！

虽然这幅画画得有些莫名其妙，不过我们还是愿意称它的作者为大画家，因为他的画确实很吸引人。埃舍尔是荷兰的著名画家，他的画都是那么玄妙，所有现实世界中不可能发生的事情，在他的画里都可以找得到。而且他的作品可以激发人的想象力，所以很多数学家也为之痴迷。走进埃舍尔的不可能世界，你绝对会为他的创作而拍手叫绝。

我们所看到的这幅画是埃舍尔最后期的奇异建筑式图画，它的名字就叫做《瀑布》。为什么要把这个问题放在这里讨论呢？因为它也与拓扑有着很大的联系。20世纪50年代以来，拓扑学发展的中心课题是流形理论。一维的流形是曲线，二维的流形是曲面，而三维以上的流形则只能靠它们的投影（甚至投影的投影）来认识了。很明显，我们眼前的这幅画是一个三维的流形，而恰恰也就是在这投影的过程中，才给我们造成了视觉上的错误。

为什么埃舍尔可以创作出这样的作品呢？这是因为埃舍尔是一个既精于建筑，又精于数学测量的人。所以，在他的作品中，有时候会改变正常的透视结构，从而创作出非常有趣而又耐人寻味的画面。这幅画的“不可能”主要是由不可能的三角形和不可能的楼梯组成的，这是埃舍尔最非凡的又不可能实现的建筑作品。其实，如果单看这幅画的每一个部分，那都是完全没有问题的。但如果把它作为一个整体来看，问题就出现了——它的秘密就在于用二维的图形来表示并构造一个三维的物体。埃舍尔是根据彭罗斯的三角原理来画这幅画的。数学家彭罗斯曾提出了不可能的三角形，这幅画最吸引人的创意就来源于这个不可能的三角形。在画面中，他三次用到了三角形。可见，埃舍尔是一个非常有创意，而且想象力非常丰富的画家。 PE4lBXLg1NZE5S/cPwbYVPZL9Yn4s/gQDB6Z8EKY9E4HFu2wk036Wtsh6PLZU/LI