还有一类需要研究的极限。我们已经研究了在接近一点 x = a 时的函数行为。然而在有些情况下，重要的是要理解当 x 变得非常大时，一个函数的行为如何。换句话说，我们感兴趣的是，研究当变量 x 趋于∞时函数的行为。我们想写出

并以此表示，当 x 很大的时候， f （ x ）变得非常接近于值 L ，并保持这种接近的状态。（更多详情请参见附录A的A.3.3 节。）重要的是要意识到，写出 表示 f 的图像在 y = L 处有一条右侧水平渐近线。类似地，当 x 趋于−∞时，我们写出

它表示当 x 变得越来越负（或者更确切地说，− x 变得越来越大）时， f （ x ）会变得非常接近于值 L ，并保持接近的状态。当然，这对应于函数 y = f （ x ）的图像有一条左侧水平渐近线。如果愿意，你也可以把这些转化为定义：

当然，像 y = x ² 这样的函数没有任何水平渐近线，因为当 x 变得越来越大时， y 值只会无限上升。用符号表示，我们可以写作 =∞。反过来，极限也有可能不存在。例如， sin （ x ）. sin （ x ）会变得越来越接近何值（并保持这种接近状态）呢？它只是在−1 和 1 之间来回振荡，因此绝不会真正地接近任何地方。此函数没有水平渐近线，也不会趋于∞或−∞；你所能作的最好回答是， sin （ x ）不存在（DNE）。证明请参见附录A的A.3.4 节。

让我们回到上一节看到的函数 f ，其定义为 f （ x ）=sin （1 /x ）。当 x 变得非常大时会怎么样呢？首先，当 x 很大时，1 /x 会非常接近于 0。由于sin （0）=0，那么sin （1 /x ）就会非常接近于 0. x 越大，sin （1 /x ）就会越来越接近于 0。我的论证有点粗略，但希望能说服你相信

因此，sin （1 /x ）在 y =0 处有一条水平渐近线。这就能够扩展我们之前画的 y =sin （1 /x ）的图像，至少是向右边做扩展。我们仍旧担心当 x < 0 时会发生什么。事情不是太糟糕，因为 f 是一个奇函数。理由是

注意到我们使用了sin （ x ）是 x 的奇函数的事实来由sin （−1 /x ）得到−sin （1 /x ）。这样一来，由于奇函数有一个很好的性质，就是其图像关于原点对称（参见 1.4 节），可以完整地画出 y =sin （1 /x ）的图像，如图 3-8 所示。

同样，很难画出当 x 在 0 附近时的情况。 x 越接近 0，此函数就会振荡得越激烈。当然，该函数在 x =0 处无意义。在上图中，我选择避免在中间画得密密麻麻，而是把那里的激烈振荡留给你想象。

大的数和小的数

希望我们都认同 1 000 000 000 000 是一个大的数。那么−1 000 000 000 000呢？或许这会引起争议，但我要让你把它看作是一个大的负数，而不是一个小的数。举个小的数的例子，0.000 000 001，同时−0.000 000 001 也是一个小的数（更确切地说，是一个小的负数）。有趣的是，我们不打算把 0 看作是个小的数：它就是零。因此，下面就是我们对于大的数和小的数的非正式定义：

● 如果一个数的绝对值是非常大的数，则这个数是 大的 ；

● 如果一个数非常接近于 0（但不是真的等于 0），则这个数是 小的 。

尽管上述定义在我们的实际应用中很有帮助，但这实在是一个没有说服力的定义。“非常大”和“非常接近于 0”分别意味着什么？好吧，我们考虑极限

正如之前看到的，它表示当 x 是一个足够大的数时， f （ x ）的值就会几乎等于 L 。可问题是，多大才是“足够大”呢？这取决于你想让 f （ x ）距离 L 有多近！不过，从实际应用的角度出发，如果 y = f （ x ）的图像看上去开始变得靠近在 y = L 的水平渐近线，那么这个数 x 足够大。当然，一切都依赖于函数 f 的定义，例如图 3-9 中的两种情况。

在这两种情况下， f （10）都不在 L 的附近。在左图中，当 x 至少是 100 时， f （ x ）看上去非常接近于 L ，因此，任何比 100 大的数都是大数。在右图中， f （100）远离 L ，因此，现在的 100 就不是足够大了。在这种情形下，你可能需要走到 200。那么你能够只选取一个像 1 000 000 000 000 这样的数，然后说它已经很大了吗？不可以，因为一个函数有可能一直起伏不定，直到比如 5 000 000 000 000 才变得趋于它的水平渐近线。这里的要点是，“大的”一词必须考虑到相关的某个函数或极限才有意义。幸好，没有最大，只有更大，往上还大有余地——甚至一个像 1 000 000 000 000这样的数，相对于 10 ¹⁰⁰ （古戈尔）来说还是相当小，而 10 ¹⁰⁰ 与 10 ^{1 000 000} 比起来又是那么微不足道……顺便说一下，我们会经常使用术语“在∞附近”来代替“大的正的数”。（在字面意义上说，一个数不可能真的在∞附近，因为∞无穷远。不过在 x → ∞时的极限的语境中，“在∞附近”的说法还是说得通的。）

当然，所有这些也都适用于 x → −∞时的极限，你只需在上述所有大的正的数之前添加一个负号。在这种情况下，我们有时会说“在−∞附近”来强调我们所指的是大的负的数。

另一方面，我们会经常看到极限

在上述三种情况下，我们知道，当 x 足够接近于 0 时， f （ x ）的值几乎是 L 。 （对于右极限， x 还必须为正；而对于左极限， x 还必须为负。）那么 x 必须离 0 多近呢？这取决于函数 f 。因此，当说一个数是“小的”（或者“接近于 0”）时，必须结合某个函数或极限的语境来考虑，就像在“大的”情形中一样。

尽管这一番讨论让之前的非正式定义确实变得更严谨了一些，但它仍不算完美。如果你想了解更多，真的应该查看一下附录A的A.1 节和A.3.3 节。 SqfAhgN5fqZ8R2YXO+1R8LJhMOZPnswwB2H4BVzodtHUEzpG49NrG8H2YfrYqiBH