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我们已经看到，极限描述了函数在一个定点附近的行为。现在想想看，你会如何描述图 3-3 中 h （ x ）在 x =3 附近的行为。
图3-3
当然，就趋于极限的行为而言， h （3）=2实际上是无关紧要的。现在，当你从左侧接近于 x =3 时会发生什么呢？想象一下，你是图中的远足者，顺着山势上下。 h （ x ）的值会告诉你，当你的水平位置是 x 时，你所在高度是多少。因此，如果你从图的左边向右走，那么当你的水平位置接近于 3 时，你所在高度就会接近于 1。当然，当到达 x =3 时你会陡然坠落（更不用说那个古怪的小突起），但暂时我们不关心。这时任何在 x =3 右侧的值，包含 x =3 本身对应的值，都是无关紧要的。因此，就可以看到 h （ x ）在 x =3 的 左 极限 等于 1。
另一方面，如果你从图的右边向左走，那么当你的水平位置接近于 x =3 时，你所在高度就会接近于−2。这就是说， h （ x ）在 x =3 的 右极限 等于−2。这时任何在 x =3 左侧（包含 x =3 本身）的值都是无关紧要的。
可将上述发现总结如下：
在上面第一个极限中 3 后的小减号表示该极限是一个左极限，第二个极限中 3 后的小加号表示该极限是一个右极限。要在 3 的后面写上减号或加号，而不是在前面，这是非常重要的！例如，如果你写成
那么指的是 h （ x ）在 x =−3 时的通常的双侧极限，而不是 h （ x ）在 x =3 时的左极限。这确实是两个完全不同的概念。顺便说一下，在左极限的极限符号底下写 x →3 − 的理由是，此极限只涉及小于 3 的 x 的值。也就是说，你需要在 3 上减一点点来看会有什么情况发生。类似地，对于右极限，当你写 x →3 + 的时候，这意味着你只需要考虑如果在 3 上加一点点会有什么情况发生。
正如我们将在下一节看到的，极限不是总存在的。但这里的要点是：通常的双侧极限在 x = a 处存在，仅当左极限和右极限在 x = a 处都存在且相等！在这种情况下，这三个极限（双侧极限、左极限和右极限）都是一样的。用数学的语言描述，我们说，
等价于
如果左极限和右极限不相等，例如上述例子中的函数 h ，那么双侧极限不存在。我们写作
或使用缩写“DNE”表示“不存在”。