假设有一个表达式为 g （ x ）= x ² 的函数 g 。你可以将 x 替换成任何使函数有意义的对象，如 g （ y ）= y ² 或 g （ x + 5）=（ x + 5） ² 。后一个例子需要特别注意小括号，若写成 g （ x + 5）= x + 5 ² 就是错的，因为 x + 25 并不等于（ x + 5） ² 。所以在替换过程中如果拿不准，可用小括号。也就是说，如果你需将 f （ x ）写成 f （某表达式），可将每一个 x 替换成（某表达式），这时一定要加小括号。唯一不需要加小括号的情况是，当函数是指数函数时，如 h （ x ）=3 ^x ，你可以写成 不需要加小括号是因为你已经将 x ² + 6 写成上标了。

现在考虑定义为 f （ x ）=cos（ x ² ）的函数 f 。若给定一个数 x ，如何计算 f （ x ）呢？你会首先计算 x 的平方，然后计算平方值的余弦。鉴于我们可将 f （ x ）的计算分解成前后相继的两个独立的计算，我们也就可以将这些计算各描述成一个函数。因此，令 g （ x ）= x ² ， h （ x ）=cos（ x ）。为了模拟函数 f 是如何作用于输入值 x 的，你可先将 x 输入到函数 g 进行求平方运算，接着不必返回 g 的结果而直接让 g 将其结果作为函数 h 的输入，然后 h 计算出一个最终的结果值，该结果值当然是由函数 g 计算出的 x 平方值的余弦值。这个过程恰恰模拟了 f ，故我们可以写出 f （ x ）= h （ g （ x ）），也可表示为 f = h o g ，这里的圈表示“与……的复合”，即 f 是 g 与 h 的 复合 。换言之， f 是 g 与 h 的复合函数。这里需要小心的是，我们把 h 写在 g 的前面（像平常一样从左向右读），但计算时我们要先从 g 开始。我承认这确实容易让人搞混，但我也没办法——你只能试着去接受。

练习求两个或多个函数的复合是很有用的。例如，若 g （ x ）=2 ^x ，h （ x ）=5 x ⁴ ， j （ x ）=2 x −1，则函数 f = g o h o j 的表达式是什么？我们只需从 j 开始，将其代换到 h ，接着再将结果代换到 g ，可得

同样，你需要练习该过程的逆过程。例如，假定你开始于函数

如何将 f 分解为几个简单函数呢？从函数式中找到 x ，首先需要加 3，所以设 g （ x ）= x + 3；然后要对所得值取以 2 为底的对数，所以令 h （ x ）=log ₂ （ x ）；接着需乘 5，则设 j （ x ）=5 x ；再接着要求正切值，因此令 k （ x ）=tan（ x ）；最后要取倒数，于是令 m （ x ）=1 /x 。由上，验证下式：

f （ x ）= m （ k （ j （ h （ g （ x ）））））。

利用复合符号，可以写成

f = m o k o j o h o g 。

这并不是函数 f 的唯一分解形式。例如，我们可以将函数 h 和 j 复合成另一个函数 n ，其中 n （ x ）=5 log ₂ （ x ）。然后你应该验证一下 n = j o h 和

f = m o k o n o g 。

或许最初（包含 j 和 h ）的分解较好一点，因为它将 f 分解成更多的基本形式，但第二种（包含 n ）也没错，毕竟 n （ x ）=5 log ₂ （ x ）仍是关于 x 的较为简单的函数。

注意，函数的复合并不是把它们相乘。例如 f （ x ）= x ² sin（ x ）， f 不是两个函数的复合，因为对任意给定的 x ，计算 f （ x ）的值需要求解 x ² 和sin（ x ）（先求哪个值都没关系，这与复合函数不同），然后将这两个值乘起来。若令 g （ x ）= x ² ， h （ x ）=sin（ x ），则我们可以写成 f （ x ）= g （ x ） h （ x ）或 f = gh 。可将它与这两个函数的复合函数 j = g o h ，即

j （ x ）= g （ h （ x ））= g （sin（ x ））=（sin（ x ）） ²

或 j （ x ）=sin ² （ x ）比较一下。函数 j 完全不同于乘积 x ² sin（ x ），它同样不同于函数 k = h o g 。函数 k 也是 g 和 h 的复合函数，不过是按另一个顺序的复合：

k （ x ）= h （ g （ x ））= h （ x ² ）=sin（ x ² ）。

k 是另一个完全不同的函数。这个例子说明，函数的乘积和复合是不同的，且函数的复合与函数顺序有关系，而函数的乘积与函数顺序无关。

复合函数另一个简单但重要的例子是，将函数 f 和 g （ x ）= x − a （ a 是常数）进行复合。对复合得到的新函数 h （ x ）= f （ x − a ），需要关注的是新函数 y = h （ x ）和函数 y = f （ x ）的图像是一样的，只不过 y = h （ x ）的函数图像向右平移了 a 个单位。如果 a 是负的，那么就是向左平移。（一种理解方式是，向右平移−3 个单位与向左平移 3个单位是一样的。）那么如何画 y =（ x −1） ² 的图像呢？就像画 y = x ² 的图像一样，只是用 x −1 来代替 x 。所以可将函数 y = x ² 的图像向右平移 1 个单位，如图 1-9 所示。

类似地， y =（ x +2） ² 的图像是将 y = x ² 的图像向左平移 2 个单位，可把（ x +2）理解为（ x −（−2））。 zxwupfknAhcP3WuOgOKFjZtAsfFsMBqa6H5HTy/tzevAk0YoQVBdsx+uKQ7Q5vfn