如果只考察直线运动，我们就远不能理解自然界中的许多运动。我们必须考虑曲线运动，下一步就是要确定出支配这些运动的定律。这绝非易事。事实证明，在直线运动的情况下，速度、速度的变化、力等概念是很有用的，但如何把它们应用于曲线运动，却并非一目了然。我们甚至可以设想，旧概念已经不适合描述一般运动，必须创造出新的概念。我们应当尽量循着旧路走，还是另寻一条新路呢？

在科学中，我们常常会把概念加以推广。推广的方法并非只有一种，通常会有很多方式来实现。不过，无论是哪一种推广，都必须严格满足一个要求：如果原有的条件得到了满足，任何推广的概念都必须归于原有的概念。

利用目前正在讨论的例子，我们可以很好地说明这一点。我们可以试着把速度、速度的变化和力等旧概念推广到曲线运动。从专业上讲，在谈到曲线时，我们已经把直线包含了进去。直线是曲线的一个平凡特例。因此，如果把速度、速度的变化和力用于曲线运动，它们就自动被用于直线运动。但这个结果不应与之前得到的结果相矛盾。如果曲线变成了直线，那么所有推广的概念都必须归于描述直线运动的旧概念。但这样一个限制不足以唯一地决定如何推广，而是还留有多种可能性。科学史表明，即使连最简单的推广也是有时成功，有时失败。我们必须首先作出猜测。就目前这个例子而言，很容易猜出正确的推广方法。事实证明，新的概念非常成功，它既能帮助我们理解行星的运动，又能帮助我们理解抛出石头的运动。

在曲线运动的一般情形中，“速度”、“速度的变化”和“力”这些词是什么意思呢？先谈谈“速度”。假定有一个很小的物体沿着曲线从左向右运动，这样一个小物体通常被称为“质点”。在下图中，曲线上的点表示质点在某一时刻的位置。对应于这个时刻和位置的速度是什么呢？伽利略的线索再次暗示了引入速度的方法。我们必须再次运用想象力去设想一个理想实验。在外力的影响下，质点沿曲线从左到右运动。假定某一时刻在图中的点上，所有这些力都突然停止作用，那么根据惯性定律，运动必定是匀速的。当然，我们实际上永远也不可能使物体完全摆脱外界的影响。我们只能推测“如果……，那么会发生什么情况？”，再根据由此得出的结论以及它们是否与实验相一致来判断我们的推测是否恰当。

接下来一幅图中的矢量表示所有外力都消失时所猜测的匀速运动方向，那就是所谓的切线方向。如果透过显微镜来看一个运动着的质点，我们会看到一个非常小的曲线部分，它显现为一小段弦。切线就是它的延长线。于是，所画的矢量表示给定时刻的速度。速度矢量就在切线上，它的长度表示速度的大小，比如汽车示速器上显示的速率。

我们不能把破坏运动以寻求速度矢量的这个理想实验看得太认真。它只是为了帮助我们理解应把什么东西称作速度矢量，以及就给定的时刻和地点确定速度矢量。

下一幅图中绘出的三个速度矢量对应于一个质点沿曲线运动时的三个不同位置。这里，速度的方向和大小（如矢量的长度所示）都是随运动而变化的。

这个新的速度概念是否满足针对一切推广所提出的要求呢？换句话说，倘若曲线变成了直线，它是否也能归于我们所熟悉的速度概念呢？显然是这样。直线的切线就是这条线本身。速度矢量位于运动的线上，运动的小车或滚动的球体的情况就是如此。

接下来要引入作曲线运动的质点的速度变化。这同样有各种方式，我们选择其中最为简单和方便的。上一幅图中的几个速度矢量表示路上各个点处的运动。可以把前两个矢量画成有一个共同的起点，我们已经知道，对于矢量来说是可以这样做的。

我们把虚线矢量称为“速度的变化”。它的起点是第一个矢量的末端，终点则是第二个矢量的末端。初看起来，对速度变化的这个定义不仅人为，而且没有意义。在矢量1和矢量2方向相同的特殊情况下，这个定义要清楚得多。当然，这意味着回到了直线运动的情形。如果这两个矢量有相同的起点，那么虚线矢量仍然是把它们的终点连接起来。现在，此图与前面那幅图完全相同，以前的概念重新成为新概念的一种特殊情形。需要指出的是，在图中我们不得不把两条线分开，因为否则它们就重合在一起无法区分了。

现在我们来做最后一步推广，也是我们迄今所作猜测中最重要的一个。必须建立起力与速度变化之间的关联，以找到一条线索来理解一般的运动问题。

用来解释直线运动的线索很简单：外力使速度发生了变化，力矢量与速度变化的方向相同。那么，曲线运动的线索是什么呢？完全一样！仅有的差别是，现在速度变化的意义比以前更宽泛了。只要看一下前两幅图中的虚线矢量，就能清楚地显示这一点。如果曲线上每一点的速度都已知，那么每一点的力的方向就立即可以推导出来。必须取相距时间极短的两个时刻（因而相应的两个位置也非常近）画出速度矢量，从前一矢量终点引向后一矢量终点的矢量即表示作用力的方向。但重要的是，这两个速度矢量的时间间隔必须“极短”。对“极近”、“极短”这类词作出严格的分析绝非易事。事实上，正是这种分析使牛顿和莱布尼茨发明了微积分。

推广伽利略线索的过程漫长而曲折，这里我们无法讲述这种推广是多么富有成果。应用它之后，以前互不关联和无法理解的许多事实都得到了简单而令人信服的解释。

从纷繁复杂、各式各样的运动中，我们只取最简单的运动，并且用刚才表述的定律来解释它们。

枪管里射出的子弹，斜着抛出的石头，水管里射出的水流，它们所走过的路径都是我们所熟知的抛物线。想象在石头上附加一个示速器，使石头在任何时刻的速度矢量都可以画出来。

如图所示，作用于石头的力的方向正是速度变化的方向，我们已经知道如何来确定它。下图显示了作用力垂直向下的情形，这和让石头从塔顶落下来时的情形完全一样。路径和速度虽然完全不同，但速度变化的方向却是相同的，它们都朝向地球的中心。

将一块石头缚在一根绳子末端，在水平面上挥动它，它将作圆周运动。如果速率恒定，那么图中表示这种运动的所有矢量长度都相等。然而，运动并不是匀速的，因为路径并非直线。只有匀速直线运动才不涉及外力。但这里存在着外力，发生变化的不是速度的大小，而是速度的方向。根据运动定律，这种变化必定由某个外力引起，这里的力存在于石头与握绳的手之间。于是立刻又产生了一个问题：力是沿着哪个方向起作用的呢？我们还用矢量图来回答。画出距离非常近的两个点的速度矢量，找到速度的变化。可以看到，后一矢量沿绳子指向圆心，而且总是与速度矢量或切线垂直。换句话说，手通过绳子对石头施加了一个力。

月球围绕地球的运转这个更重要的例子与此非常类似。可以近似认为它是匀速圆周运动。作用于月球的力是指向地球的，就像上一个例子中的力指向手一样。地月之间并无绳索连接，但我们可以想象这两个物体的中心之间有一根线，力就位于这根线上，并且指向地心，就像石头抛向空中或者从塔顶落下时受到的力那样。

我们之前就运动所说的都可以归结为一句话： 力和速度的变化是方向相同的矢量。 这是解决运动问题的初始线索，但它肯定不足以彻底解释所观察到的一切运动。从亚里士多德的思路过渡到伽利略的思路是科学基础的一块非常重要的基石。一旦取得这一突破，进一步发展的思路就很明确了。这里我们感兴趣的是发展的最初阶段，即根据初始的线索表明，在与旧观念的艰苦斗争中如何产生了新的物理概念。我们只关注科学中的开创性工作，即如何寻找新的、未曾预料的发展道路，只关注科学思想的冒险如何创造出一幅不断变化的宇宙图景。最初的基本步骤总是革命性的，科学想象发觉旧的概念过于狭窄，遂用新的概念取而代之。沿任何既定思路的持续发展都带有演进性，直至到达下一个转折点，需要征服新的领域为止。然而，要想理解是什么原因和什么困难迫使我们改变重要的概念，我们不仅要知道初始线索，还要知道从中可以推出什么结论。

从初始线索中推出的结论不仅是定性的，而且是定量的，这是现代物理学最重要的特征之一。我们再次考虑从塔上落下的石头。我们已经看到，石头的速度将会随着下落而增加。但我们还想知道得更多一些，比如这个变化究竟有多大？开始下落后，石头在任一时刻的位置和速度是多少？我们希望能对事件作出预言，并且用实验来确定观察结果能否证实这些预言，从而证实初始假设。

要想得出定量结论，必须使用数学语言。科学的基本观念本质上大都简单，一般都可以用人人都能理解的语言来表达。但是，要把这些观念探究到底，却需要了解非常复杂的研究技巧。要想得出能与实验相比较的结论，必须把数学当作推理工具。如果只关注基本的物理学观念，数学语言也许是可以避免的。由于本书一贯如此，所以为了理解进一步产生的重要线索，我们有时必须未加证明地引用一些结果。放弃数学语言必然会带来一些代价，比如精确性有所丧失，有时引用一些结果却不能说明它们的由来。

地球围绕太阳的运转是运动的一个非常重要的例子。众所周知，其路径是一条被称为椭圆的闭合曲线。速度变化的矢量图表明，作用于地球的力指向太阳。但仅有这点信识毕竟不够。我们希望能够预测地球和其他行星在任一时刻的位置，预测下一次日食的日期和持续时间以及其他许多天文学事件。这些事情是可以做到的，但并非只靠我们的初始线索，因为现在不仅要知道力的方向，而且要知道它的绝对值或大小。在这一点上，牛顿作了富有启发的猜测。根据他的万有引力定律，两个物体之间的引力与它们彼此之间的距离有一种很简单的关系：距离增加时，力就减小。具体说来，当距离增加到2倍时，力就减小到2×2＝4倍；当距离增加到3倍，力就减小到3×3＝9倍。

于是我们看到，就万有引力而言，我们已经成功地把运动物体之间的力与距离的关系表示为一种简单的形式。对于其他情形，比如电力、磁力等不同种类的力在起作用时，我们也以类似的方法进行处理。对于力，我们试图使用一种简单的表达。这种表达是否恰当，要看从它推出的结论能否为实验所证实。

然而，单凭这种对引力的认识还不足以描述行星的运动。我们已经看到，表示力和很短时间间隔内速度变化的矢量，其方向是相同的，但我们必须进一步追随牛顿，认为其长度之间存在着一种简单关系。假定所有其他条件都相同，也就是说，运动物体相同，考察速度变化的时间间隔相同，那么按照牛顿的说法，速度的变化正比于力。

因此，要想得出关于行星运动的定量结论，需要补充两个猜测：一个是一般性的，陈述力与速度变化之间的关系；另一个是特殊性的，陈述这种特殊类型的力与物体距离之间的关系。前者是牛顿一般的运动定律，后者则是他的万有引力定律，这两条定律共同决定了运动。通过下面听起来似乎有些笨拙的推理，我们可以说清楚这一点。假定行星在某一时刻的位置和速度能够测量出来，力也是已知的，那么根据牛顿定律，我们就能知道很短时间间隔内的速度变化。知道了初速度和速度变化，我们就能得到行星在时间间隔结束时的速度和位置。持续重复这个过程，我们不必再求助于观测数据就能追溯出整个运动路径。原则上讲，力学就是如此预测物体运动轨迹的，但这种方法用在此处很不实际。实际上，这种次第进行的程序极为冗长且不准确。幸好这种方法完全不必要，数学给我们提供了一条捷径，能够极为简洁地描述运动。由此得出的结论可以用观察来证明或否证。

无论是石头在空中的下落，还是月球绕其轨道的运转，我们都可以看出同一种类型的外力，那就是地球对物体的吸引力。牛顿认识到，石头的下落以及月球和行星的运转仅仅是作用于任何两个物体之间的万有引力的特殊显现。简单情况下的运动可以借助于数学来描述和预测。而极为复杂的情况，如果涉及多个物体彼此之间的作用，数学描述就不那么简单了，但基本原理是一样的。

我们发现，在石头的抛射运动以及月球、地球和行星的运动中，我们从初始线索中推导出来的结论变成了现实。

事实上，实验能够证明或否证的乃是我们的整个猜测系统。没有一个假设能被孤立出来作单独的检验。在行星围绕太阳运转的例子中，力学体系表现得非常成功。但我们很容易设想另一个体系，它基于不同的假设，但同样很管用。

物理概念是人类心灵的自由创造，而不是完全由外在世界所决定（无论看起来有多像）。我们试图理解实在，就像一个人想知道一块表的内部机制。他看到表面和正在走动的表针，甚至听到滴答声，但却打不开表壳。心灵手巧的他可以将机制画出来，以解释他观察到的所有事物，但他永远无法完全肯定，只有他的图才能解释观察到的东西。他永远也不能把这幅图与实际的机制加以比较，甚至无法想象这种比较的可能性或意义。但随着知识的增长，他肯定相信他对实在的描绘将会越来越简单，所能解释的感觉印象的范围也会越来越广。他也可以相信，知识有一个理想的极限，而人类的心灵正在接近这个极限。这个理想的极限或可称之为客观真理。 xtkhYWuETVFEVyXU1gS/WRRU8uLWrrMmGZagBbGdezzjqaMSZLuhorrPrLBf+G8g