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亲爱的读者，您大概从小就已经熟悉了欧几里得几何学的宏伟大厦。回想起这座宏伟的建筑，您也许敬多于爱。在其高高的楼梯上，认真的教师曾使您在数不清的日子里疲于奔命。凭借您过去的经验，谁若是宣称这门科学中哪怕最冷僻的命题是不真实的，您一定会嗤之以鼻。但如果有人问，“您说这些命题是真的，这究竟是什么意思呢？”您那种颇为得意的确定感兴许会立刻消失。让我们考虑一下这个问题。
几何学从“平面”、“点”和“直线”等一些基本概念出发，我们能把大体上清晰的观念与这些概念联系起来；几何学还从一些简单的命题（公理）出发，基于这些观念，我们倾向于把这些命题（公理）当做“真的”接受下来。然后，利用我们不得不认为正当的一种逻辑方法，所有其余命题都可以追溯到这些公理，亦即得到证明。于是，只要一个命题可以通过公认的方法由公理推导出来，这个命题就是正确的或“真的”。这样，各个几何命题是否为“真”的问题就归结为公理是否为“真”的问题。但人们早已知道，后面这个问题不仅用几何学的方法无法回答，而且它本身就是毫无意义的。我们不能问“过两点只有一条直线”是否为真，而只能说，欧几里得几何学涉及一种被称为“直线”的形体，几何学赋予直线一种性质，即直线可由其上两点清楚地确定下来。“真”这个概念对于纯粹几何学的陈述是不适用的，因为我们习惯上总是用“真”这个词来指与一个“实在的”客体相符合；然而几何学并不涉及它所包含的概念与经验客体之间的关系，而只涉及这些概念彼此之间的逻辑联系。
不难理解，为什么尽管如此我们还是感到不得不把几何命题称为“真的”。几何概念多多少少对应于自然界中具有精确形状的客体，而这些客体无疑是产生这些概念的唯一根源。几何学应当放弃这样做，才能使其结构获得最大程度的逻辑一致性。例如，通过一个刚体上两个标明的位置来查看“距离”，这在我们的思维习惯中根深蒂固。如果恰当地选择观察位置，用一只眼睛观察而能使三个点的视位置相互重合，我们也习惯于认为这三个点位于一条直线上。
现在，如果按照我们的思维习惯，在欧几里得几何学的命题中补充这样一个命题，即一个刚体上的两点永远对应于同一距离，而与物体可能发生的位置变化无关，那么欧几里得几何学的命题就可以归结为关于刚体的可能相对位置的命题。
我们可以把作了如此补充的几何学当成物理学的一个分支来处理。现在我们可以合法地提出经过这样解释的几何命题是否为“真”的问题，因为我们可以问，对于被我们归入几何概念的那些实在的东西来说，这些命题是否适用。我们也可以不太精确地说，我们把此种意义上几何命题的“真”理解为该命题对于尺规作图的有效性。
当然，确信此种意义下的几何命题为“真”，仅仅是以极不完整的经验为基础的。我们先假定几何命题为真，然后在最后一个部分（讨论广义相对论时）会看到，这种真在何种程度上是有限度的。