二、怎样对无穷大进行计数

上一节我们讨论了一些数，其中许多是相当巨大的。但这些巨大的数，比如施宾达所要的麦粒数，虽然大得令人难以置信，但仍然是有限的，只要有足够的时间，总能把它们从头到尾写出来。

但的确存在着一些无穷大数，它们比我们所能写出的任何数都要大，无论我们书写多长时间。例如，“所有数的数目”显然是无穷大的，“一条线上所有几何点的数目”也是如此。关于这些数，除了说它们是无穷大的，我们还能说什么吗？例如，我们是否有可能对两个不同的无穷大进行比较，看看哪个“更大”呢？

“所有数的数目和一条线上所有几何点的数目，哪个更大呢？”这个问题有意义吗？著名数学家康托尔（Georg Cantor）最先思考了这类初看起来荒诞不经的问题，他的确称得上是“无穷大算术”的奠基人。

如果想谈论无穷大的大小，我们就会面临一个问题：这些数既读不出来，也写不出来，该怎样比较呢？此时我们就像一个霍屯督人在检查自己的财宝箱，想知道其中究竟是玻璃珠多还是铜币多。但你大概还记得，霍屯督人最多只能数到3。难道他会因为数不出来而不再尝试比较珠子和铜币的数目吗？绝对不会。如果足够聪明，他会把珠子和铜币逐个进行比较，以此来得出答案。他可以把一颗珠子放在一枚铜币旁边，再把另一颗珠子放在另一枚铜币旁边，然后一直这样下去……如果珠子用光了，还剩下一些铜币，他就知道铜币多于珠子；如果铜币用光了，珠子还有剩余，他就知道珠子多于铜币；如果两者同时用光，他就知道珠子与铜币数目相等。

康托尔正是用这种方法对两个无穷大进行比较的：如果可以给两组无穷大中的各个对象一一配对，使一组无穷大中的每一个对象都能与另一组无穷大中的每一个对象一一对应，任何一组都没有对象遗漏，就说这两组无穷大是相等的；如果有一组还留下了一些对象没有配对，就说这组对象的无穷大比另一组对象的无穷大更大，或者说更强。

这显然是我们可以用来对无穷大量进行比较的非常合理的规则，事实上也是唯一可能的规则。但在实际开始运用它时，我们很可能会大吃一惊。例如，所有偶数的无穷大和所有奇数的无穷大，你当然会直觉地感到偶数与奇数的数目相等。这与上述法则完全一致，因为这两组数之间可以建立如下的一一对应关系：

在这张表中，每一个奇数都有一个偶数相对应，反之亦然。因此，偶数的无穷大等于奇数的无穷大。这的确再简单自然不过了！

但是，且慢。所有整数（包括奇数和偶数）的数目和仅仅偶数的数目，你认为哪个大呢？当然，你会说前者更大，因为所有整数不仅包括所有偶数，而且还包括所有奇数。但这只是你的感觉而已。要想得出正确的答案，你必须运用比较两个无穷大的上述规则。如果运用了这个规则，你就会惊讶地发现，你的感觉是错误的。请看，以下是所有整数和所有偶数的一一对应表：

根据对无穷大进行比较的上述规则，我们不得不说，偶数的无穷大与所有整数的无穷大一样大。当然，这听起来非常悖谬，因为偶数只是所有整数的一部分。但不要忘了，我们这里是在与无穷大数打交道，因此必须有碰到不同性质的思想准备。

事实上，在无穷大的世界里，部分有可能等于整体！关于这一点，著名德国数学家希尔伯特（David Hilbert）所讲述的一则故事也许是最好的说明。据说他曾在关于无穷大的演讲中这样讲述无穷大数的这种悖谬性质： ^[1]

设想有一家旅店，内设有限个房间，而且所有房间都已住满。这时又来了一位客人，想订个房间。店主说：“对不起，所有房间都住满了。”现在再设想一家旅店，内设无穷多个房间，所有房间也都住满了。此时也来了一位新客，想订个房间。

“当然可以！”店主说。接着，他把一号房间里的客人移到二号房间，二号房间的客人移到三号房间，三号房间的客人移到四号房间，……，以此类推。这样一来，新客就可以住进已被腾空的一号房间。

我们再设想一个有无穷多个房间的旅店，所有房间都已经住满。这时来了无穷多位想订房间的客人。

“好的先生们，请稍等，”店主说。

他把一号房间的客人移到二号房间，二号房间的客人移到四号房间，三号房间的客人移到六号房间，以此类推。

现在，所有单号房间都腾出来了。新来的无穷多位客人可以住进去了。

希尔伯特讲这个故事时正值战争期间，所以即使在华盛顿也很难想象他所描述的情况。但这个例子的确使我们清楚地明白了：我们在与无穷大数打交道时碰到的性质与普通算术中常见的性质大相径庭。

运用比较两个无穷大的康托尔规则，我们现在也能证明，所有像 或 这样的普通分数的数目与所有整数的数目相等。事实上，我们可以把所有普通分数按照以下规则排成一排：先写下分子与分母之和等于2的分数，这样的分数只有一个，即 ；然后写下分子与分母之和等于3的分数，这样的分数有两个，即 和 ；然后写下分子与分母之和等于4的，即 。以此类推，我们便得到了一个无穷的分数数列，它包含了我们所能想到的所有分数（图5）。现在，在这个数列上方写出整数数列，这样便有了无穷多个分数与无穷多个整数之间的一一对应。因此，它们的数目又是相等的！

“是啊，这一切都很妙，”你可能会说，“但这是否就意味着，所有无穷大都彼此相等呢？如果是这样，还比较它们干什么呢？”

不，情况并非如此。我们很容易找到一个无穷大，它比所有整数或所有分数的无穷大更大。

事实上，考察一下本章前面提出的那个比较一条线上的点数和所有整数数目的问题，我们就会发现，这两个无穷大是不同的。一条线上点的数目要比整数或分数的数目多得多。为了证明这一点，我们先尝试在一条线（比如1英寸长）上的点与整数数列之间建立一一对应关系。

线上的每一点都可用该点到这条线某一端的距离来表示，此距离可以写成无限小数的形式，比如0.735 062 478 005 6 … 或 0.382 503 756 32 … 现在我们要比较一下所有整数的数目和所有可能的无限小数的数目。那么，上面写出的无限小数与 或 这样的分数有何不同呢？

大家一定还记得，我们在算术课上学过：每一个普通分数都可以转化为一个无限循环小数。例如 =0.6666 … =0.66， =0.428571 428571 428571 4 … =0.(428571)。我们前面已经证明，所有普通分数的数目等于所有整数的数目，因此所有循环小数的数目也必定等于所有整数的数目。但一条线上的点不一定能由循环小数表示出来，绝大多数点是由不循环小数表示的。因此很容易证明，在这种情况下不可能建立一一对应关系。

假定有人声称已经建立了这样一种一一对应，且具有以下形式：

N

1　0.38602563078 …

2　0.57350762050 …

3　0.99356753207 …

4　0.25763200456 …

5　0.00005320562 …

6　0.99035638567 …

7　0.55522730567 …

8　0.05277365642 …

• …………………

• …………………

当然，由于不可能把无穷多个整数和无穷多个小数实际写出来，所以上述说法只是意味着这张表的作者有了某种一般规则（类似于我们用来排列普通分数的规则），并且根据这种规则制作了这张表，此规则保证每一个小数迟早会出现在这张表上。

但我们很容易证明，任何此类说法都是站不住脚的，因为我们总能写出一个无限小数没有包含在这张无穷表之中。怎么写呢？非常简单。只要让该小数的第一小数位区别于表中N1的第一小数位，第二小数位区别于表中N2的第二小数位，等等。你所得到的数可能是下面这个样子：

无论你怎样找，都不可能在上表中找到这个数。事实上，如果该表的作者告诉你，你所写出的这个数位于他那张表上的N137（或其他任何序号），你可以立即回答说：“不可能，我这个数并不是你那个数，因为我这个数的第137小数位不同于你那个数的第137小数位。”

因此，线上的点与整数之间不可能建立起一一对应关系。这意味着，线上的点的无穷大大于或强于所有整数或分数的无穷大。

我们一直在讨论“1英寸长”的线上的点。但现在很容易证明，按照我们“无穷大算术”的规则，无论多长的线都是如此。事实上，无论是1英寸长的线，1英尺长的线，还是1英里长的线，上面的点数都相同。要想证明这一点，只要看看图6，AB和AC是两条不同长度的线，现在要比较其上的点数。为了在这两条线的点之间建立一一对应关系，过AB上的每一点作BC的平行线与AC相交，这样便形成了D与D′，E与E′，F与F′等交点。对于AB上的任意一点，都有AC上的一个点与之对应，反之亦然。于是按照我们的规则，这两个无穷大是相等的。

通过这种对无穷大的分析还能得出一个更加惊人的结论：一个平面上所有点的数目与一条线上所有点的数目相等。为了证明这一点，让我们考虑一条长1英寸的线AB上的点和边长1英寸的正方形CDEF上的点（图7）。

假定这条线上某一点的位置由某个数给出，比如0.75120386 … 。我们可以把这个数的奇数位和偶数位挑出来再组合到一起，形成两个不同的小数：

0.7108 …

和

0.5236 …

在正方形中沿水平和竖直方向量出由这两个数所指定的距离，把这样得到的点称为原来线上那个点的“对偶点”。反过来，对于正方形中的任意一点，比如由0.4835 … 和0.9907 … 这两个数来描述的点，我们把这两个数合到一起，便得到了线上相应的“对偶点”：0.49893057 … 。

显然，通过这种程序可以在两组点之间建立一一对应关系。线上的每一点在正方形中都有其对应点，正方形中的每一点在线上也有其对应点，没有被遗漏的点。于是，按照康托尔的标准，一个正方形中所有点的无穷大与一条线上所有点的无穷大相等。

通过类似的办法也很容易证明，立方体中所有点的无穷大与正方形或线上所有点的无穷大相等。为此，我们只需把最初那个无限小数分成三部分， ^[2] 并用由此获得的三个新的小数来定义立方体中“对偶点”的位置。和不同长度的两条线的情况一样，正方形或立方体中的点数与该正方形或立方体的尺寸无关。

虽然所有几何点的数目要大于所有整数和分数的数目，但这还不是数学家们知道的最大的数。事实上，人们发现，所有可能的曲线，包括形状最不寻常的那些，其成员数目要比所有几何点的数目更大，因此应把它看成无穷大序列中的第三个数。

根据“无穷大算术”的创始人康托尔的说法，无穷大数由希伯来字母 （读作阿列夫）表示，其右下角再用一个小数字来表示此无穷大的级别。这样一来，数（包括无穷大数）的序列就成了：

1，2，3，4，5， … ₁ ， ₂ ， ₃ …

正如我们说“世界有7大洲”，“一副扑克有54张牌”，我们也可以说“一条线上有 ₁ 个点”，“存在着 ₂ 种不同的曲线”。

在结束关于无穷大数的讨论时，我们要指出，这些数很快就把人们所能想象的无穷大数包含了进去。我们知道， ₀ 表示所有整数的数目， ₁ 表示所有几何点的数目， ₂ 表示所有曲线的数目，但是到目前为止，还没有人想得出能用 ₃ 来表示的无限集合。似乎前三个无穷大数就足以数出我们所能想到的任何东西了。我们现在的处境正好与我们那位霍屯督老朋友完全相反：他有许多个儿子，却数不过3；我们什么都能数，却没有那么多东西让我们来数！

[1] 引自R. Courant, The Complete Collection of Hilbert Stories ，该书从未出版，甚至从未写成文字，但广为流传。

[2] 例如，由0. 7 3 5 1 0 6 8 2 2 5 4 8 3 1 2 … 这个小数，我们可以分成以下三个新的小数：
0 . 7 1 8 5 3 … ，
0 . 3 0 2 4 1 … ，
0 . 5 6 2 8 2 … 。 gCR8cuzEtTIiQWIEzgO1fLYo8WcVCXhNoK+jjvTb8S5ifwHDHb8WUNrRKliffzyB