一、你能数到多少？

有这么一个故事，说的是两个匈牙利贵族决定做一个游戏——谁说出的数最大谁赢。

“好，”其中一个人说，“你先说吧。”

另一个人绞尽脑汁想了几分钟，终于说出了他所能想到的最大的数：“3”。

现在轮到第一个人动脑筋了。苦想了一刻钟之后，他决定放弃：“你赢啦！”

这两个匈牙利贵族的智力水平当然并不很高。这个故事也许只是为了挖苦人罢了。但如果此二人不是匈牙利人，而是霍屯督人，那么上述对话或许的确发生过。的确有一些非洲探险家证实，许多霍屯督部族都没有词汇来表达比3大的数。如果问当地的一个土著他有几个儿子，或者杀死过多少敌人，那么倘若这个数大于3，他就会回答“许多”。于是就计数的本领而言，霍屯督的勇士们竟会败给我们幼儿园里自诩能够数到10的娃娃们！

今天我们往往会认为，我们想把一个数写成多大就能写成多大。无论是用分来表示战争开销，还是用英寸来表示星体之间的距离，只要在某个数右边写下足够数目的零就可以了。你可以一直这样写下去，直到手腕发酸。这样一来，你所写下的数不知不觉就会比宇宙中的原子总数更大， 随便说一句，宇宙中的原子总数是300 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000。

这个数可以写得短一些，即写成

3×10 ⁷⁴ ，

这里，10右上方的小数字74表示应当写多少个零，或者说，3要用10乘上74次。

但古人并不知晓这种“让算术变得简单”的数制。事实上，它是一千多年前某位佚名的印度数学家发明的。在他做出这项伟大发现——这项发现的确很伟大，尽管我们通常并没有意识到这一点——之前，人们用一个特殊的符号来表示每一个十进制单位，并通过重复书写这个符号来书写数。例如，古埃及人会把8732这个数写成：

而恺撒政府中的职员则会把这个数写成：

MMMMMMMMDCCXXXII

后一种记数法你一定很熟悉，因为直到现在，我们有时仍然会用罗马数字来表示书籍的卷数或章数，或者在庄严华美的纪念碑上记载历史事件的日期，等等。不过，古代的计数很少超过几千，所以也就没有用来表示更高十进制单位的符号。一个古罗马人，无论在算术方面多么训练有素，如果让他写一下“一百万”，他一定会不知所措。他所能做的最多只是接连写下一千个M，而这需要他费力写几个钟头（图1）。

对古人来说，那些很大的数，比如天上的星星、海里的鱼、岸边的沙粒等等，都是“无法计数”，就像“5”这个数对霍屯督人来说也是“无法计数”，从而变成了“许多”一样！

公元前3世纪的著名科学家阿基米德（Archimedes）曾经天才地表明，巨大的数是有可能书写出来的。他在《数沙者》（ The Psammites ）一书中说道：

有人认为，沙粒的数目是无穷大的；我所说的沙粒不仅是指存在于叙拉古周边以及整个西西里岛的沙粒，而且是指在地球所有区域所能找到的所有沙粒，无论那里是否有人居住。也有人认为，这个数目并非无穷大，但比地球沙粒数目更大的数是表示不出来的。如果想象地球是一个大沙堆，并把地球的所有海洋和洞穴都填满沙粒，一直填到与最高的山齐平，那么持有这种观点的人显然会更加确信，这样堆积起来的沙粒数目是无法表示的。但我要试图表明，使用我所命名的各种数，不仅能表示出按照上述方式填满整个地球的沙粒的数目，甚至能表示出填满整个宇宙的沙粒的数目。

阿基米德在这部名著中提出的书写大数的方法与现代科学中的方法很相似。他从古希腊算术中最大的数“万”开始，然后引入“亿”这个新的数作为“第二级单位”，然后是第三级单位“亿亿”、第四级单位“亿亿亿”，等等。

写出一些大数似乎无足轻重，没有必要用几页篇幅加以讨论。但在阿基米德那个时代，找到书写大数的方法的确是一项伟大的发现，使数学迈进了一大步。

要想计算填满整个宇宙所需的沙粒总数，阿基米德需要知道宇宙有多大。当时认为，宇宙被一个附有恒星的水晶天球所包围。据与阿基米德同时代的著名天文学家萨摩斯的阿里斯塔克（Aristarchus of Samos）估算，从地球到那个天球表面的距离约为10 000 000 000斯塔迪姆 ，即约为1 000 000 000英里。

阿基米德将那个天球的尺寸同沙粒相比，作了一连串足以使高中生发生梦魇的计算，最后得出结论说：

显然，阿里斯塔克所估算的天球包围的空间中所能填充的沙粒数目，不会超过一千万个第八级单位。 ^[1]

这里要注意，阿基米德对宇宙半径的估算远远小于现代科学家的观测结果。10亿英里仅比太阳系中土星的距离略大一些。我们将会看到，望远镜已经探测到宇宙5 000 000 000 000 000 000 000英里远的地方。填满整个可见宇宙所需的沙粒数超过

10 ¹⁰⁰ （即1后面有100个零）。

这个数当然远远大于本章开头所提到的宇宙中的原子总数3×10 ⁷⁴ ，但我们不要忘了，宇宙中 并非塞满了 原子；事实上，平均来说，每立方米空间中只有大约1个原子。

要想得到巨大的数，并不一定要做出把整个宇宙塞满沙子这样的极端事情。事实上，在许多看似非常简单的问题中，它们也常常会跳将出来，而你事先肯定想不到其中会出现大于几千的数。

有一个人曾经在大数上吃了亏，那就是印度的舍罕王（King Shirham）。根据一则古老的传说，舍罕王打算赏赐他的首席大臣施宾达（Sissa Ben Dahir），因为施宾达发明了国际象棋，并且将它介绍给了舍罕王。这位聪明的大臣想要的似乎并不多，他跪在国王面前说：“陛下，请赐予我一粒麦子放入这张棋盘的第一个方格；在第二个方格放两粒，第三个方格放四粒，第四个方格放八粒，以此类推，每一个方格内的麦粒都比前一个方格加一倍。陛下啊，请把这样摆满棋盘上所有64个方格的麦粒赏赐给我吧！”

“爱卿，你要的并不多啊，”国王为对这项奇妙的发明所许下的慷慨馈赠没有破费太多而暗喜，“你肯定会如愿以偿的。”他边说边命人将一袋麦子拿到宝座前。

然而随着计数的开始，第一个方格放一粒，第二个方格放两粒，第三个方格放四粒，……还没到第二十个方格，袋子已经空了。一袋又一袋的麦子被陆续扛到国王面前，但每一个方格所需的麦粒数飞速增长，情况很快就变得很清楚，即使拿来印度的所有粮食，国王也无法兑现他对施宾达的承诺，因为这将需要18 446 744 073 709 551 615颗麦粒！ ^[2]

这个数不像宇宙中的原子总数那样大，但也非常可观了。假定1蒲式耳小麦约有5 000 000粒，那就需要4万亿蒲式耳小麦才能满足施宾达的要求。这位首席大臣索取的竟然是 全世界在大约2000 年里所产出的所有小麦！

这样一来，舍罕王发现自己欠了施宾达一大笔债。他要么得面对施宾达没完没了的讨债，要么干脆砍掉施宾达的脑袋。我猜想，舍罕王大概选择了后者。

另一个由大数当主角的故事也出自印度，它与“世界末日”问题有关。喜爱数学的历史学家鲍尔（W. W. R. Ball）是这样讲这个故事的： ^[3]

在瓦拉纳西 伟大的神庙里，在标志着世界中心的穹顶下方安放着一个黄铜板，板上固定着三根钻石针。每根针高1腕尺（1腕尺约合20英寸），如蜜蜂身体般粗细。梵天在创世的时候，在其中一根针上放置了64个金片，最大的金片位于底部，紧挨着黄铜板，其他金片从下到上依次减小。这就是梵塔。有一个值班的僧侣按照梵天固定不变的法则，昼夜不停地将这些金片从一根针移到另一根针：一次只能移一片，而且无论在哪一根针上，小片必须永远在大片上面。当所有这64个金片都从梵天创世时所放置的那根针移到另一根针时，世界将随着一声霹雳而烟消云散，梵塔、神庙和众婆罗门都将化为灰烬。

图3描绘了故事中的安排，只是金片没有画那么多。你可以用普通的硬纸片代替这则印度传说中的金片，用长铁钉代替钻石针，亲手制作这样一个玩具。不难发现，移动金片的一般规则是：移动每一片的次数总是移动上一片次数的两倍。第一片只需移动一次，接下来每一片的移动次数则按几何级数增加。于是，移动第64片的次数将与施宾达所要求的麦粒数一样多！ ^[4]

将梵塔上所有64个金片都移到另一根针上需要多长时间呢？一年有大约31 558 000秒，假定僧侣们加班加点地每秒钟移动一次，昼夜不停，那么需要58万亿年左右才能完工。

我们不妨将这个关于宇宙寿命的纯属传说的预言同现代科学的预言作一对比。按照目前关于宇宙演化的理论，恒星、太阳和行星，包括我们的地球，都是在大约30亿年前由无定形的物质形成的。我们还知道，为恒星特别是太阳提供能量的“原子燃料”还能维持100亿或150亿年（见“创世年代”一章）。因此，我们宇宙的总寿命肯定不到200亿年，而不像这个印度传说所估计的58万亿年！不过，它毕竟只是个传说！

文献中曾经提及的最大的数也许与著名的“印刷行数问题”有关。假定我们建造了一台印刷机，它可以连续印出一行行文字，并且自动为每一行选择字母和其他印刷符号的组合。这样一台机器将包括若干分离的轮盘，轮盘的整个边缘都刻有字母和符号。盘与盘之间就像汽车的里程指示器中的数码盘那样装配在一起，使得每一个轮盘转动一周就会带动下一个轮盘前移一个位置。每一次移动之后，纸卷都会自动压到滚筒上。这样一台自动印刷机建造起来并不很困难，图4便是这种机器的示意图。

让我们开动这台机器，检查一下印刷出来的那些没完没了的东西吧。这些东西大都没有什么意义，比如：

“aaaaaaaaaaaa … ”

或者

“boobooboobooboo … ”

或者

“zawkpopkossscilm … ”

不过，既然这台机器能够印出字母与符号的所有可能组合，我们就能从这堆毫无意义的句子中找出点有意义的。当然，这其中又有许多无效的句子，比如：

“horse has six legs and … ”（马有六条腿，并且……）

或者

“I like apples cooked in terpentin … ”（我喜欢吃松节油煎苹果……）。

但只要坚持不懈地找下去，就一定会发现莎士比亚所写下的每一句话，甚至是那些被他扔进废纸篓的句子！

事实上，这台自动机会印出人类从学会写字以来所写出的一切：每一句散文和诗歌，报纸上的每一篇社评和广告，每一本厚重的科学论著，每一封情书，每一张订奶单……

不仅如此，这台机器还将印出未来所要印刷的所有东西。在从滚筒出来的纸上，我们可以找到30世纪的诗歌，未来的科学发现，在第500届美国国会上所作的讲演，对2344年星际交通事故的报道，还会有一页页尚未写出来的长、短篇小说。出版商如果地下室里有这样的机器，他们只需从印出的大量荒唐文字中选编一些好的句子就可以了——这也正是他们现在在做的事情。

这为什么做不到呢？

英语字母表中有26个字母、10个数字（0、1、2、 … 、9），还有14个常用符号（空白、句号、逗号、冒号、分号、问号、感叹号、破折号、连字符、引号、省略号、小括号、中括号、大括号），共50个字符。再假设这台机器有65个轮盘，对应于平均打印行的65个位置。打印行可以从任何一个字符开始，因此有50种可能性。对于这50种可能性中的每一种，该行第二个位置又有50种可能性，因此共有50×50＝2500种可能性。而对于前两个字符的每一种给定组合，第三个位置又有50个字符可以选择。这样下去，对整个打印行进行安排的可能性总数为 ，

或者

50 ⁶⁵ ，

它等于10110。

要想知道这个数有多么巨大，你可以假想宇宙中的每个原子都是一台独立的印刷机，这样就有3×10 ⁷⁴ 台机器同时工作。再假定所有这些机器自宇宙诞生以来就一直在运转，也就是说已经运转了30亿年或10 ¹⁷ 秒，而且它们都以原子振动的频率在印刷，即每秒钟印出10 ¹⁵ 行。那么到现在为止，这些机器大约印了3×10 ⁷⁴ ×10 ¹⁷ ×10 ¹⁵ ＝3×10 ¹⁰⁶ 行，而这只是上面那个总数的1/3000左右而已。

看来，想要在这些自动印出的材料里做某种挑选，的确要花非常漫长的时间！

[1] 如果用我们的记数法来表示，这个数是：
一千万　　　　第二级　　　第三级　　　第四级
(10 000 000)×(100 000 000)×(100 000 000)×(100 000 000)×
第五级 　　 第六级 　　 第七级 　　 第八级
(100 000 000)×(100 000 000)×(100 000 000)×(100 000 000)
或直接写成：
10 ⁶³ （即1的后面有 63个零）。

[2] 这位机智的大臣所要的麦粒数可以表示如下；
1+2+2 ² +2 ³ +2 ⁴ +……2 ⁶² +2 ⁶³ 。
在算术中，每一项都是前一项的固定倍数的数列被称为几何级数（在我们这个例子中，这个倍数是2）。可以证明，这种级数的所有项之和等于固定倍数（这里是2）的项数（这里是64）次幂减去第一项（这里是1）所得的差除以固定倍数减1，即：

结果写出来就是18 446 744 073 709 551 615。

[3] W.W.R.Ball, Mathmatical Recreations and Essays (The Macrnillan Co., New York, 1939）.

[4] 如果只有7个金片，则需要移动的次数为：
1+2 ¹ +2 ² +2 ³ +……，或者
2 ⁷ -1＝2×2×2×2×2×2×2-1＝127。
如果你准确无误地迅速移动金片，那么完成这项任务大概需要一个小时。当金片为64片时，需要移动的总次数为：
2 ⁶⁴ -1＝18 446 744 073 709 551 615。
它等于施宾达所要求的麦粒数。 9mG4467316Y+cu2WU6aRI859wCjHT3m+4TLda7HuC/25k5OCdyD7eUh3Gxv1gAnt