三、把空间翻过来

到目前为止，我们一直在讨论各种表面也就是二维空间的拓扑学性质。但类似的问题显然也可以针对我们生存于其中的三维空间提出。这样一来，地图上色问题在三维情况下的推广就可以表述成：要把由不同材料制成的各种形状的镶嵌图案拼成一个空间，使得没有任何两块由同一种材料制成的镶嵌图案有共同的接触面，那么需要用多少种材料？

上色问题在球面或环面上的三维类比是什么呢？能不能想出一些不同寻常的空间，它们与普通空间的关系就如同球面或环面与普通平面的关系？初看起来，这个问题似乎没有什么意义。事实上，我们虽然很容易想到许多不同形状的表面，却往往认为只可能有一种三维空间，即我们生活于其中的那个熟悉的物理空间。但这种看法是一种危险的幻觉。只要稍微发动一下想象力，我们就能想出与欧几里得几何教科书中所讲空间截然不同的一些三维空间。

设想这类古怪空间的主要困难在于，我们本身是三维生物，我们只能“从内部”打量这个空间，而不能像在观察各种怪异表面时那样“从外部”去打量。不过，经过一番思维训练，我们是能够征服这些怪异空间的。

我们首先来建立一个性质与球面相似的三维空间模型。当然，球面的主要性质是：它没有边界，但有有限的面积；它转过来自我封闭。我们能否设想一个三维空间，它以类似的方式自我封闭，从而有有限的体积而无明确边界呢？

考虑两个球体，它们各自被自己的球面所限，就像苹果被自己的外皮所限一样。现在，设想这两个球体“相互穿过”，沿外表面连在一起。当然，这并不是说我们能把两个物体（比如两个苹果）挤得相互穿过，从而使其表皮粘连在一起。苹果能被挤碎，但永远也不会相互穿过。

或者，我们可以设想有个苹果被虫子吃出了错综复杂的通道。假定有黑色和白色两种虫子，它们彼此厌恶，在苹果内的各自通道绝不相通，尽管可以始于苹果皮上的相邻两点。一个被这两种虫子蛀来蛀去的苹果最后会像图18那样，出现两个紧密交缠、布满整个苹果内部的通道网络。然而，尽管黑虫和白虫的通道可以很接近，要想从一半迷宫走到另一半迷宫，却必须先到表面才行。如果设想通道变得越来越细，数目越来越多，最后苹果内将会有两个互相交叠的独立空间，它们仅在共同表面上相连。

如果你不喜欢虫子，可以设想一种类似于纽约世界博览会的巨型球体建筑中那种双走廊双楼梯系统。设想每一套楼梯系统都盘旋穿过整个球体，但要从其中一套系统的某个点到达另一套系统的临近点，只能先走到球面上两套系统的会合处，然后再往回走。我们说这两个球体互相交叠而彼此不相干涉，你的朋友可能离你很近，但要见到他、握个手，你必须兜很大的圈子！需要注意的是，这两套楼梯系统的连接点其实与球内的任何其他点并无不同，因为总可以使整个结构变形，把连接点推到里面，把以前里面的点弄到表面。关于我们的模型，第二点要注意的是，虽然两套通道的总长度是有限的，但没有“死胡同”。你可以不断穿过走廊和楼梯，而不会被墙壁或栅栏挡住；如果你走得足够远，你最终一定能回到你的出发点。从外面审视整个结构，我们可以说，在这迷宫中穿行的人最终总会回到其出发点，因为楼梯会逐渐转到反方向。但对于处在内部而不知“外面”为何物的人来说，空间将表现为有限尺寸而无明确边界的东西。我们将在后面看到，这种没有明显边界但并非无限的“自我封闭的三维空间”在讨论整个宇宙的性质时是非常有用的。事实上，用最强大的望远镜所作的观测似乎表明，在如此遥远的距离处，空间开始弯曲，显示出一种返折回来自我封闭的明显趋势，就像苹果被虫子蛀出通道的那个例子一样。但在讨论这些令人兴奋的问题之前，我们还得再了解一下空间的其他性质。

关于苹果和虫子，我们还没有讲完。下一个问题是：能否把一个被虫子蛀过的苹果变成一个面包圈呢？当然，这并不是说要使苹果尝起来像面包圈，而只是说让它看起来像面包圈；我们在讨论几何学，而不是烹饪术。让我们取一个上一节所讨论的“双苹果”，也就是两个“相互穿过”且表皮“粘连在一起”的新鲜苹果。假设有一只虫子在其中一个苹果中蛀出了一条环形通道，如图19所示。请记住，是在一个苹果中蛀的，所以通道外的每一点都是属于两个苹果的双重点，而通道内则只有那个未被虫蛀过的苹果的物质。这样一来，我们这个“双苹果”就有了一个由通道内壁组成的自由面（图19a）。

你能改变这个受损苹果的形状，将它变成一个面包圈吗？当然，这要假设苹果有很大的可塑性，可以随意捏成什么样子，唯一的条件是苹果不会发生破裂。为了便于操作，我们可以把苹果切开，只要在完成所需的变形之后还能将切口粘起来。

首先，我们把形成“双苹果”的两个部分的表皮解开，从而将两个苹果分开（图19b）。为了便于在接下来的各个步骤中进行追踪，我们用Ⅰ和Ⅰ′这两个数字来表示这两张剥离开的表皮，最后我们还会把它们重新粘起来。接着，将那个包含着虫蛀通道的苹果切开（图19c），这便切出了两个新的面，分别标记为Ⅱ、Ⅱ′和Ⅲ、Ⅲ′，以后还会把它们粘回去。通道的自由面也显示出来了，它必定会成为面包圈的自由面。现在，让我们按照图19d所示来拉伸这几个碎块，这个自由面被拉伸成了很大一块（不过按照我们的假定，这里使用的材料可以任意伸缩！）。与此同时，切开的面Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的尺寸都减小了。当我们对“双苹果”的前一半做手术时，也必定会把另一半压缩成樱桃大小。现在，我们要开始沿着切口往回粘了。第一步很容易，先把Ⅲ、Ⅲ′粘在一起，得到图19e所示的形状。再把缩小的苹果放在由此形成的两钳口之间。收拢两钳口，球面Ⅰ将与Ⅰ′重新粘在一起，切面Ⅱ和Ⅱ′也将合在一起。这样，我们便得到了一个光滑而精致的面包圈。

做这一切有什么意义呢？

没有什么意义，只是让你在想象中做做几何学练习，这种思维体操有助于你理解弯曲空间和自我封闭空间这样的异乎寻常的东西。

如果你愿意再扩展一下想象力，我们可以看看上述做法的一个“实际应用”。

你大概从未想过，你的身体也曾有过面包圈的形状吧。事实上，任何生命体在其发育的最初阶段（胚胎阶段）都要经历所谓的“原肠胚”阶段。在这个阶段中，它呈球形，一条宽阔的通道横穿其中。食物从通道的一端进入，待生命体摄取了有用成分之后，剩下的东西从另一端排出。在发育成熟的生命体中，内部通道变得更细、更复杂，但主要原则依然不变：面包圈形的所有几何性质都没有改变。

好了，既然你也是个面包圈，现在尝试逆着图19的方式作个变形——（在思想中！）努力把你的身体变成一个拥有内部通道的双苹果。特别是，你会发现，你身体中彼此部分交叠的不同部分将会形成“双苹果”的果体，而包括地球、月亮、太阳和星辰在内的整个宇宙将被挤入内部的圆形通道！

试着画画看它是什么样子。如果你画得不错，连达利（Salvado Dali）本人也要承认你的超现实主义画作技高一筹了！（图20）

虽然本节已经很长，但在结束它之前，我们还要讨论一下左手系、右手系物体及其与空间一般性质的关系。介绍这个问题最方便的办法是从一副手套谈起。比较一下一副手套（图21），你会发现它们在各方面都是相同的，但有一个重大差异：你无法把左手套戴到右手上，也无法把右手套戴到左手上。你可以随意将它们扭来转去，但左手套永远是左手套，右手套永远是右手套。左手系物体与右手系物体的这种区别还可见于鞋子的形状、汽车的转向机构（美国的和英国的）、高尔夫球棍以及其他许多物体。

另一方面，像礼帽、网球拍等许多东西就没有显示出这种差别。没有人会傻到要去商店订购几只左手用的茶杯。如果有人让你找邻居借一个左手用的活动扳手，那肯定是个恶作剧。那么，这两种东西有什么区别呢？稍作思考你就会注意到，像礼帽和茶杯这样的东西都有一个我们所谓的对称平面，沿这个平面可将它们切成两个相等的部分。而手套和鞋子就没有这样的对称平面。无论你如何努力，你都无法把一只手套切成两个相同的部分。如果某个物体没有对称平面，或如我们所说是非对称的，那么它就有左手系和右手系两种类型。其差别不仅表现于手套或高尔夫球杆这样的人造物体，在自然界中也很常见。例如，存在着两种蜗牛，它们在所有其他方面都相同，唯独建房子的方式不同：一种蜗牛的壳沿顺时针盘旋，另一种则沿逆时针盘旋。甚至连分子这种组成各种不同物质的微粒，也常常有左旋和右旋两种形态，就像左、右手套以及顺时针和逆时针盘旋的蜗牛壳一样。当然，你是看不见分子的，但这种不对称性可以显示于这些物质的晶体形态和某些光学性质。例如，糖有左旋糖和右旋糖两类；还有两种吃糖的细菌，每种细菌只吃与之对应的那种糖，信不信由你。

如前所述，将一个右手系物体（例如一只右手套）变成左手系物体似乎是完全不可能的。但果真如此吗？我们能否设想出某种可以做到这一点的奇妙空间呢？为了回答这个问题，让我们从生活在面上的扁平居民的角度来考察它，我们可以从更优越的三维地位来观察这些居民。图22描绘了只有两维空间的扁平国的可能居民的几个例子。那个手提一串葡萄的站立者可称为“正面人”，因为他只有“正面”而没有“侧面”。而他身边的动物则是一头“侧面驴”，或者说得更确切些，是一头“右侧面驴”。当然，我们也能画出一头“左侧面驴”。由于这两头驴都被限定于这个面上，所以从二维的观点来看，它们的不同就如同我们三维空间中的左右手套。你无法将“左驴”与“右驴”交叠起来，因为要使它们鼻子挨着鼻子、尾巴挨着尾巴，就得把其中一头驴子翻个个儿，这样一来，它可就四脚朝天，无法站立咯。

不过，若将一头驴子从面上取出，在空间中翻转一下再放回去，两头驴子就会变得一样。同理也可以说，若把一只右手套沿第四方向拿出我们这个空间，适当地旋转一下再放回去，就可将它变成一只左手套。但我们的物理空间并无第四方向，所以只能认为上述方法是不可能做到的。那么，有没有别的办法呢？

现在，我们还是回到二维世界，不过不是考虑图22所示的普通平面，而是考虑所谓“莫比乌斯面”（surface of Möbius）的性质。这种面的名字得自于一个世纪以前最早对它进行研究的德国数学家。拿一个长长的纸条，将其一端拧个弯，然后把两端粘成一个环，便轻而易举地得到了莫比乌斯面。图23显示了这个环的具体做法。这种面有许多特殊性质，其中一个性质很容易发现：拿剪刀沿一条与边缘平行的线（沿着图23中的箭头）剪一圈，你一定会预期这样会把这个环剪成两个分离的环。但做了之后你就会发现猜错了：你得到的不是两个环，而是一个环，它是原有环的两倍长、一半宽！

让我们看看一头影子驴沿着莫比乌斯面走一圈会发生什么。假定它从位置1（图23）出发，此时看它是头“左侧面驴”。从图上可以清楚地看出，它走啊走，经过了位置2和位置3，最后又接近了出发点。但不仅你感到奇怪，它也感到纳闷，自己竟然处在蹄子朝上的古怪位置（位置4）。当然，它能在面上转一下使蹄子落地，但这样一来，头的朝向又不对了。

简而言之，沿着莫比乌斯面走一圈之后，我们这头“左侧面驴”变成了“右侧面驴”。别忘了，在此过程中，驴子一直处在面上而未被拿出来在空间翻转。于是我们发现，在一个扭曲的面上，只要绕过扭曲处，左手系物体就可以变成右手系物体，反之亦然。图23所示的莫比乌斯带是被称为“克莱因瓶”（如图23右边所示）的更一般的面的一部分。这种瓶只有一个面，自我封闭而没有明显的边界。如果这在二维的面上是可能的，那么同样的情况也可以在三维空间中发生，只要以恰当的方式将它扭曲。当然，设想空间中的莫比乌斯扭曲绝非易事。我们不能像看驴所在的面那样从外部来看我们的空间，当我们身在其中时，看清楚事物总是很难的。但天文空间自我封闭并以莫比乌斯的方式发生扭曲，这并非不可能。

如果真是如此，那么宇宙旅行家回到地球时，其心脏将位于胸腔右侧。手套和鞋子的制造商或许能够得益于生产过程的简化：他们只需制造同一种鞋子和手套，然后把一半物品装入飞船环绕宇宙一周，这样就能满足另一半的手脚所需了。

我们就用这个荒诞的奇思异想来结束关于不寻常空间的不寻常性质的讨论吧。 WtHqH2IR1tJyI3xvyLUap2zcUn9c2YQPDDuPvqwP4TpMe8jtMnsaC0GnPA4F8llQ