二、不量尺寸的几何学

根据我们中学时的记忆，几何学是关于空间量度的科学， ^[1] 其内容主要是涉及各种距离和角度之间数值关系的一大堆定理（例如，著名的毕达哥拉斯定理就与直角三角形的三条边有关）。然而，空间的许多最基本性质并不需要测量长度或角度。讨论这些内容的几何学分支被称为位置分析（analysis situs）或拓扑学（topology） 。

兹举一个典型拓扑学的简单例子。考虑一个封闭的几何面，比如一个球面，它被一张线网划分成许多区域。为此，我们可以在球面上任选一些点，用不相交的线将它们连接起来。那么，这些点的数目、相邻区域之间边界线的数目以及区域的数目之间有什么关系呢？

首先，如果把这个圆球挤成南瓜状的扁球，或者拉成黄瓜状的长条，那么点、线、区域的数目显然还和圆球时一样。事实上，我们可以取随意挤压拉扯（除了切割或撕裂）一个橡皮球时所能得到的任何封闭表面，对上述问题的表述和回答都不会有任何改变。这与一般几何学中的数值关系（比如线的长度、面积、体积之间的关系）截然不同。事实上，如果把一个正方体拉扯成一个平行六面体，或者把球体压成饼形，这些关系会发生很大变化。

对于这个已经划分成若干个区域的球体，我们现在可以将它的每一个区域都压平，这样一来，该球体就变成了一个多面体（图13）；现在，不同区域的边界变成了多面体的边，原先选定的点则成了多面体的顶点。

现在，我们之前那个问题就可以重新表述成（其含义没有任何改变）：一个任意形状的多面体的顶点数、边数和面数之间是什么关系？

图14显示了五种正多面体（即所有面都有同样数目的边和顶点）和一个纯粹凭想象画出的不规则多面体。

我们可以数一数这些几何体各自拥有的顶点数、边数和面数，看看这三个数之间有没有什么关系？

通过计数，我们可以制得下表。

初看起来，前三栏的数字好像没有什么明确的关系。但稍作研究就会发现，顶点数V与面数F之和总是比边数E大2。于是我们可以写出这样一个数学关系：

V+F=E+2。

这种关系是只适用于图14所示的这五种特殊多面体，还是适用于任何多面体呢？如果你试着画出几种不同的多面体，数出它们的顶点、边和面，你会发现上述关系依然成立。由此可见，V+F=E+2是一条一般的拓扑学定理，因为这个关系式并不依赖于对边长或面积的测量，而只涉及若干种不同的几何学单位（顶点、边、面）的数目。

我们方才发现的多面体的顶点数、边数和面数之间所满足的这一关系是17世纪著名的法国数学家笛卡儿（René Descartes）最先注意到的。稍后，另一位数学天才欧拉对它做出了严格证明，如今它被称为欧拉定理。

以下是对欧拉定理的完整证明，引自库朗（R. Courant）和罗宾斯（H. Robbins）的著作《数学是什么？》（ What Is Mathematics? ）， 我们可以看看这种证明是如何完成的。

为了证明欧拉的公式，让我们把给定的简单多面体想象成中空的，其表面由橡皮薄膜制成［图15a］。如果切掉这个中空多面体的一个面，并把其余表面摊成一个平面［图15b］。在此过程中，多面体各个面的面积和各个边之间的角度当然都会改变。不过，该平面网络中顶点和边的数目仍与原多面体一样多，而由于切掉了一个面，多边形的数目将比原多面体的面数少一个。现在我们将证明，对于这个平面网络，V-E+F=1。于是，如果把切掉的那个面算进去，结果就成了：对于原多面体来说，V-E+F=2。

首先，我们给这个平面网络中某个不是三角形的多边形画出对角线，从而把该平面网络“三角形化”。这样一来，E和F都会增加1，因此V-E+F的值保持不变。这样持续画出对角线，直到最后整个图形都由三角形所组成［图15c］。在这个三角形化的网络中，V-E+F仍和划分成三角形之前的值一样，因为画对角线并不改变这个值。

一些三角形的边位于该网络的边缘，其中有的三角形（例如△ABC）只有一条边位于边缘，有的三角形则可能有两条边位于边缘。任取一个这样的边缘三角形，把它的那些不同时属于其他三角形的部分移去［图15d］。这样一来，从△ABC，我们移去了AC边和面，留下了顶点A、B、C 和两条边AB、BC；从△DEF,我们移去了面、两条边DF、FE以及顶点F。

在△ABC类型的移去法中，E和F都减少1，而V不变，因此V-E+F保持不变。在△DEF 类型的移去法中，V减少1，E减少2，F减少1，因此V-E+F同样保持不变。以恰当的顺序逐步拿掉这些边缘三角形，直到只剩下一个三角形和它的三条边、三个顶点和一个面。对于这个简单的网络，V-E+F=3-3+1=1。但我们已经看到，随着三角形的减少，V-E+F并不发生改变，因此在原来那个平面网络中，V-E+F也必定等于1。而这个网络比原多面体少一个面，因此对于完整的多面体来说，V-E+F=2。这便证明了欧拉的公式。

欧拉公式的一个有趣推论是：只可能存在五种正多面体，即图14所示的那五种。

然而，如果认真检查一下前面几页的讨论，你也许会注意到，在绘制图14 所示的“各种不同的”多面体以及用数学推理来证明欧拉定理时，我们都作了一个隐秘的假设，导致我们对多面体的选择受到了很大限制。也就是说，我们只能选择那些没有任何孔眼的多面体。我们所说的孔眼并不是指橡皮球上的破洞那样的东西，而是类似于面包圈或橡皮轮胎当中那个闭合的窟窿。

我们只要看看图16就清楚了。这里有两个不同的几何体，它们和图14所示的几何体一样也是多面体。

现在我们来看看欧拉定理是否适用于这两个新的多面体。

对于第一个几何体，我们总共可以数出16个顶点、32条边和16个面；于是，V+F=32，而E+2=34，不对了。对于第二个几何体，我们总共可以数出28个顶点、46条边和30个面；V+F =58，E+2=48，同样不对。

为什么会这样呢？我们前面对欧拉定理所作的一般证明对于这两个例子为什么失效了？

问题当然在于，我们前面考虑的所有多面体都可以看成一个球胆或气球，而这里的新型中空多面体却更像轮胎或更复杂的橡胶制品。前面给出的数学证明无法运用于后面这类多面体，因为对于这类多面体，我们无法完成证明所必需的所有操作——“切掉这个中空多面体的一个面，并把其余表面摊成一个平面”。

如果拿一个球胆，用剪刀切掉它的一部分表面，你将很容易满足这个要求。但对于一个轮胎却无法做到。倘若看了图16还不相信这一点，你可以找个旧轮胎试试！

但不要以为对于这种更复杂的多面体，V、E和F之间就没有关系了。关系是有的，但有所不同。对于面包圈形的，或者说得更科学一些，对于环面形（torus）的多面体来说，V+F=E，而对于扭结形（pretzel）的多面体来说，V+F=E-2。一般说来，V+F=E+2-2N，其中N为孔眼的数目。

另一个典型的拓扑学问题与欧拉定理密切相关，那就是所谓的“四色问题”。假定有一个被划分成若干区域的球面，现在要给这些区域涂上颜色，要求任何两个相邻的区域（即拥有共同边界的区域）不能有同一种颜色。那么，要想完成这项工作，最少需要几种颜色呢？显然，两种颜色一般来说是不够用的，因为当三条边界交于一点时（比如美国地图上的弗吉尼亚州、西弗吉尼亚州和马里兰州，见图17），就需要三种不同的颜色。

要找到需要四种颜色的例子也不难，比如德国吞并奥地利时期的瑞士地图（图17）。

但无论你怎么努力，也想象不出一张非得用四种以上颜色的地图，无论在球面上还是一张纸上。 看来，无论把地图构造得多么复杂，用四种颜色就足以避免边界处的任何相混了。

不过，如果这种说法是正确的，就应该能用数学方法证明它。然而，经过几代数学家的努力，仍然未能做到这一点。这是那种几乎无人怀疑、但也无人能够证明的数学陈述的一个典型案例。我们现在只能从数学上证明五种颜色总是够用的。这个证明是将欧拉关系应用于国家数、边界数和若干个国家交会的三重、四重等交点数而得出的。

这个证明非常复杂，写下来会离题太远，这里就不赘述了。读者可以在各种拓扑学著作中找到它，并且在沉思中度过一个愉快的夜晚（说不定还会一夜无眠）。如果有谁能够证明无需五种、只需四种颜色就足以给任何地图上色，或者，如果对这种说法的有效性产生怀疑，能够画出一幅四种颜色也不够用的地图，那么无论哪种情况成功了，他的大名都会经常出现在未来几个世纪的纯粹数学年鉴上。

颇具讽刺意味的是，这个上色问题在球面或平面的情况下怎么也求解不得，而对于面包圈形或扭结形等更为复杂的表面却能以相对简单的方式得到解决。例如，人们已经最终证明，无论对面包圈形的表面作怎样的划分，要使它的相邻区域的颜色有所不同，最多需要七种颜色。实际需要七种颜色的例子也已经给出。

读者如果不厌其烦，可以找一个充气轮胎和七种不同颜色的油漆给轮胎上色，使每一种颜色的区域都与另外六种颜色的区域相邻。做完之后，他就可以说他“对面包圈形的表面的确了如指掌”了。

[1] “几何学”（geometry）一词源自 ge （大地）和 metrein （测量）这两个希腊词。在构造这个词的时候，古希腊人对这门学科的兴趣似乎主要来源于他们的不动产。 +QUysly43U2Lw06SinlA190e2j1s2QE04PzwGA0l3dVanrfX7bs8B4evXLuc0v2j