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一、维数和坐标
我们都知道什么叫空间。但要精确地定义这个词的意思，我们恐怕又会张口结舌。我们也许会说，空间就是那个我们可以在其中前后、左右、上下移动的包围着我们的东西。存在着三个互相垂直的独立方向，这是我们生活于其中的物理空间的最基本的性质之一；我们说，这个空间是三个方向的或三维的。空间中的任何位置都可以通过这三个方向来确定。如果我们来到一座陌生的城市，向旅店服务员询问如何找到某家知名商号的办事处，那么他可能会说：“向南走5个街区，然后向右拐再走2个街区，上到7层。”以上这三个数通常被称为坐标，在这个例子中规定了城市街道、楼层和原点（旅店厅堂）的关系。不过显然，同一地点的方位也可以由其他任何一点给出，只要使用一个能正确表达新原点与目的地之间关系的坐标系就行了。只要知道新坐标系相对于旧坐标系的位置，就可以通过简单的数学运算，用旧坐标表示出新坐标。这一过程被称为坐标变换。这里不妨补充一句，这三个坐标并不一定要由代表距离的数来表达；事实上在某些情况下，使用角坐标要更加方便。
例如，纽约的地址通常用一个由街和路所组成的直角坐标系来表示，而莫斯科的地址则要换成极坐标，因为这座古老的城市是围绕着克里姆林中心城堡发展起来的，它既有从城堡辐射出去的各个街道，又有若干条同心的环路。因此人们会很自然地说，某座房子位于比如克里姆林宫正北与西北正中间（north-north-west）的第20个街区。
直角坐标系和极坐标系的另一个经典例子是俄国的海军部大厦和华盛顿的美国陆军部五角大楼，这是二战期间参与战争工作的每一个人所熟知的。
图12 这几个例子表明如何能用三个坐标来表示空间中某一点的位置，其中有些坐标是距离，有些坐标是角度。但无论选择什么系统，我们都需要三个数据，因为我们讨论的是三维空间
我们这些拥有三维空间概念的人虽然很难想象高于三维的超空间（尽管我们稍后会看到，这样的空间是存在的），但却很容易想象低于三维的子空间。平面、球面或其他任何表面都是二维的子空间，因为只需两个数就可以描述表面上的任何一点。同样，线（直线或曲线）是一维的子空间，因为只需一个数就可以描述线上的某个位置。我们还可以说，点是零维的子空间，因为一个点内没有两个不同位置。不过，谁会对点感兴趣呢！
作为三维生物的我们觉得理解线和面的几何性质要比理解三维空间的几何性质容易得多，因为我们是三维空间的一部分，可以“从外面”观察线和面。因此，我们很容易理解曲线或曲面是什么意思，而一听说三维空间也可以弯曲便会大吃一惊。
但只要稍作练习，并且了解了“曲率”一词的真实含义，你就会发现弯曲三维空间的概念其实非常简单。到下一章结束时，（我们希望）你甚至能够轻松地谈论一个初看起来非常可怕的概念，那就是弯曲的四维空间。
不过在讨论那些内容之前，我们先来做一些有关普通三维空间、二维表面和一维的线的思维训练。