二、神秘的

现在，我们来做点儿高级算术。二二得四，三三得九，四四一十六，五五二十五。因此，四的平方根是二，九的平方根是三，十六的平方根是四，二十五的平方根是五。 ^[1]

但一个负数的平方根会是什么呢？ 和 这样的表达式有什么意义吗？

如果你试图以理性的方式来理解这样的数，你一定会得出结论说，上述表达式没有任何意义。我们可以引用12世纪的印度数学家婆什迦罗（Brahmin Bhaskara）的话：“正数的平方是正数，负数的平方也是正数。因此，正数的平方根有两个：一个正的、一个负的。负数没有平方根，因为负数不是平方数。”

但数学家都是固执的人。如果有某个看上去没有意义的东西不断出现在其公式中，他们就会尽力为其赋予意义。负数的平方根显然持续出现在各种地方，无论是过去的数学家所思考的简单算术问题，还是20世纪在相对论框架内将时间和空间统一起来的问题。

最早将负数的平方根这个看似没有意义的东西写到公式中的勇士是16世纪的意大利数学家卡尔丹（Cardan）。在讨论是否有可能将10分成乘积等于40的两部分时，卡尔丹表明，虽然这个问题没有任何有理解，但如果把答案写成5+ 和5- 这两个荒谬的表达式就可以了。 ^[2]

卡尔丹虽然承认这两个表达式没有意义，是虚构和想象的，但还是把它们写下来了。

如果有人敢把负数的平方根写下来，那么将10分成乘积等于40的两部分的问题就迎刃而解了，尽管它们是虚构的。一旦打破坚冰，负数的平方根，或如卡尔丹所称的“虚数”，就越来越被数学家们频繁使用了，尽管使用时总是很有保留，并且要找适当的借口。在著名德国科学家欧拉1770年出版的代数著作中，我们看到了对虚数的大量运用。但作为缓和，他又加上了如下评论：“所有像 、 ……这样的表达式都是不可能的或想象中的数，因为它们表示的是负数的平方根。对于这类数，我们也许可以断言，它们既不是无，也不比无更多或更少。它们纯属虚幻或不可能。”

然而，尽管有这些毁谤和借口，虚数很快就成了数学中像分数或根式一样无法避免的东西。如果不使用虚数，几乎可以说寸步难行。

可以说，虚数家族代表着实数的一个虚构的镜像。正如我们从基本数1可以产生所有实数，我们也可以把 当作虚数的基本数（通常用符号 i 表示），由它产生所有虚数。

不难看出， = × =3 i ， = × =0.246 … i ，等等，因此每一个实数都有自己的虚数搭挡。我们还能像卡尔丹起初所做的那样把实数和虚数结合起来，组成像5+ =5+ i 这样的表达式。这种混合形式通常被称为复数。

闯入数学领域之后足足两个世纪，虚数仍然被一张难以置信的神秘面纱包裹着，直到两位业余数学家，即挪威的测量员韦塞尔（Wessel）和巴黎的簿记员阿尔冈（Robot Argand），最终对虚数做出了简单的几何解释。

按照他们的解释，一个复数，例如3+4 i ，可以像在图10中那样表示出来，其中3对应着水平距离，4对应着垂直距离。

事实上，所有实数（无论是正是负）都可以用横轴上的点来表示，所有纯虚数都可以用纵轴上的点来表示。我们把一个实数（代表横轴上的一个点）比如3乘以虚数单位 i ，就得到了位于纵轴上的纯虚数3i。因此，一个数乘以 i ，在几何上等价于逆时针旋转90°。（见图10）。

如果把3 i 再乘以 i ，则须再旋转90°，结果又回到了横轴，不过现在位于负数那一边。因此，

3 i × i =3 i ² =-3，

或

i ² =-1。

说“ i 的平方等于-1”远比说“两次逆时针旋转90°便成反向”更容易理解。

当然，同样的规则也适用于混合的复数。把3+4 i 乘以 i ，我们得到

（3+4 i ） i =3 i +4 i ² =3 i -4=-4+3 i 。

由图10立即可以看到，-4+3 i 这个点对应于3+4 i 这个点围绕原点逆时针旋转90°。同样，由图10也可以看出，一个数乘以- i 不过是它围绕原点顺时针旋转90°罢了。

如果你仍然觉得虚数蒙有一层神秘的面纱，那就让我们通过解决一个虚数有实际应用的简单问题来揭开它吧。

有一个喜欢冒险的年轻人，在他曾祖父的遗稿中发现了一张羊皮纸，上面透露了一个藏宝地点。它是这样写着的：

乘船至北纬____、西经____， 即可找到一座荒岛。岛的北岸有一大片草地，草地上有一棵橡树和一棵松树。 那里还能看到一个年代已久的绞架，那是我们曾经用来吊死叛变者的。从绞架走到橡树，记住走了多少步；到了橡树之后，向右转个直角再走这么多步，在那里打个桩。然后回到绞架朝松树走，记住所走的步数。到了松树之后，向左转个直角再走这么多步，在那里也打个桩。在两个桩的中间挖掘，即可找到财宝。

这些指令清楚而明确。于是，这位年轻人租了一条船驶往南太平洋。他找到了这座岛，也找到了橡树和松树，但让他大失所望的是，绞架不见了。此时距离写下那份遗稿已经过去太长时间，风吹日晒雨淋已使绞架的木头彻底腐烂，归于泥土，当初所在的位置一点痕迹也没有留下来。

我们这位爱冒险的年轻人陷入了绝望。愤怒而狂乱的他开始在地上胡乱挖掘。但这个岛面积太大了，他的所有努力都付诸东流。一无所获的他只得返航。如今，那财宝可能还在岛上埋着呢！

这是一个不幸的故事，但更为不幸的是，如果这个小伙子懂点数学，特别是懂得如何运用虚数，他或许能够找到财宝。现在让我们为他找找看，尽管对他来说已经太晚了。

把这个岛看成一个复数平面。过两树的根画出一轴（实轴），过两树的中点作另一轴（虚轴）与实轴垂直（见图11）。取两树距离的一半作为我们的长度单位，于是可以说，橡树位于实轴上的-1点，松树位于+1点。我们不知道绞架在哪里，不妨用希腊字母Γ（这个字母的样子倒像个绞架！）来表示它的假设位置。由于该位置并不一定在两根轴中的某一轴上，所以应把Γ看成一个复数，即Γ=a+b i 。

现在我们来做些简单的计算，别忘了前面讲过的虚数的乘法规则。如果绞架在Γ，橡树在-1，则两者的方位距离为

-1-Γ=-(1+Γ）。

同样，绞架与松树的方位距离为1-Γ。根据上述规则，将这两段距离分别沿顺时针（向右）和逆时针（向左）旋转90°，就是把它们分别乘以- i 和 i ，这样便求出了我们打的两根桩的位置：

第一根桩：（- i )［-(1+Γ）］+1= i (Γ+1)+1，

第二根桩：（+ i )(1-Γ）-1= i (1-Γ）-1。

由于财宝在两根桩的正中间，所以我们应求出上述两个复数之和的一半，即

［ i (Γ+1)+1+ i (1-Γ）-1］= ( i Γ+ i +1+ i - i Γ-1)= (2 i )= i 。

由此可见，Γ所表示的绞架的未知位置已经从我们的运算过程中消失了。无论绞架在哪里，财宝都必定在+ i 这个点上。

因此，如果这个年轻人能做这么一点简单的数学运算，他就无须在整个岛上挖来挖去，而只要在图11中打×的地方寻找财宝。

如果你仍然不相信，要找到财宝完全不需要知道绞架的位置，你可以在一张纸上标记出两棵树的位置，再为绞架假设几个不同的位置，然后按照羊皮纸上的指令去做。你将总是得到复数平面上对应于+ i 的那个位置！

通过运用-1的平方根这个虚数，我们还找到了另一项隐秘的财宝：我们惊讶地发现，普通的三维空间能与时间结合成受四维几何学规则支配的四维空间。我们将在接下来的某一章讨论爱因斯坦的思想和他的相对论，届时会回到这一发现。

[1] 其他许多数的平方根也很容易求出。例如 ＝2.236 … ，因为（2.236 … ）×（2.236 … ）＝5.000 … ； ＝2.702 … ，因为（2.702 … ）×（2.702 … ）=7.3000 … 。

[2] 验证如下：
5bLX4xkgHK5fHSAydPHQpqwN0AmEmZefKekXiIFqyDN7FmX5N7A5eeEtlZvm+3tW