现在舞台已经从 a , b , c 转向了 A , B , C 。

“有趣的东西”是指什么啊，我忍不住吐槽自己。

好像我已经从原本的问题——“存在无数个基本勾股数吗”跑偏到外星球去了。

我又想起了米尔嘉的歌。

“整数的结构，是由质因数表示的。”

这样啊……将 A , B , C 分解质因数，会变成什么形式呢？以下这种形式吗？

把以上式子代入关系式 B ² = AC 观察一下。

喔？将 B ² 分解质因数时，质因数 b _k 全变成了 这种平方的形式。

原来是这样。 将平方数分解质因数，就会发现里面包含偶数个质因数。

例如18 ² 这个平方数，分解得18 ² = (2 × 3 × 3) ² = 2 ² × 3 ⁴ ，里面包含质因数2和3，2和3的个数都是偶数。想想就觉得理应如此。

根据质因数分解的唯一分解定理——分解质因数的方法是唯一的——可知， B ² = AC 的左边和右边，质因数列是完全一致的。左边出现的质因数应该也会在右边的某处出现。也就是说——

啊，我明白了！

在此，第二条丝带——“ A 与 C 互质”这个条件有用了。 A 与 C 互质，也就是说 A 与 C 的最大公约数为1，换言之就是 A 和 C 没有共同的质因数。考虑 B 的质因数 b _k ，则任意一个质因数 b _k 不包含在 A 中，就包含在 C 中！

沿用刚才的例子2 ² × 3 ⁴ ，这个数可以表示为互质的两个自然数 A 与 C 的乘积。如果有1个质因数2包含在 A 的质因数分解中，则所有的2 ² 都应该包含在 A 的质因数分解中。如果有1个质因数3包含在 A 的质因数分解中，则所有的3 ⁴ 都应该包含在 A 的质因数分解中。某个质因数不能同时放在 A 和 C 中。拿2 ² × 3 ⁴ 来说，只能出现如下四种拆分方法。

A 和 C 中不能出现相同的质因数。而且质因数的个数是偶数……这也就意味着， A 和 C 都是平方数。

厉害厉害，因为 A 和 C 是平方数，所以可以用自然数 m , n 来表示，如下所示。

变量太多了很头痛，不过还可以前进。弄错了方向的话，再回头看看笔记就好。

因为 A 和 C 没有共同的质因数，所以毫无疑问， m 和 n 也是互质的。到头来 a , b , c 都可以用互质的 m 和 n 来表示了！

首先，因为 a = C - A ，所以

因为 a > 0，所以 m > n 。又因为 a 是奇数，所以 m 和 n 的奇偶性应该是不一致的。

接下来，因为 c = C + A ，所以下式是成立的。

然后又因为 b = 2 B ，所以……这里需要计算一下。

因此，可知下式是成立的。

最后， a , b , c 就可以用互质的 m 和 n 来表示。

反过来，像上面这样用 m 和 n 的形式表示的一组数 ( a , b , c ) 肯定是基本勾股数。这个只要计算一下就能确定。

a , b , c 的互质关系也可以通过简单的计算得到。

研究奇偶性，留意着互质这个条件分解质因数……我得到了 基本勾股数的一般形式 。

这下，隐藏在基本勾股数中的结构就浮现出来了。只要明确到这一步，泰朵拉的问题自然也就迎刃而解了。

不同的质数之间是互质的，所以使用质数列，就应该可以创造出无数个基本勾股数。例如设 n = 2， m 为大于等于3的质数。把 m 依次定为3, 5, 7, 11, 13的话，从 m 和 n 的组合中可以创造出不同的 ( a , b , c )。因为质数有无数个，所以可以创造出无数个基本勾股数。

路途很漫长，不过没有行差踏错。