数学女孩最新章节_结城浩著

3.2 振动和旋转

虽说先暂且不谈矩阵，但是米尔嘉还是在我的练习本上写下了这样一道题。

问题3-1

将以下数列的通项 a _n 用 n 来表示。

n	0	1	2	3	4	5	6	7	...
a _n	1	0	-1	0	1	0	-1	0	...

“能解出来吗？”米尔嘉问我。

“很简单啊。这是以1, 0, -1, 0的顺序循环的数列啊，也可以说这个数列像是在振动。”我说。

“是吗？你是这么来看这个数列的呀？”她好像很吃惊。

“不对吗？”我问。

“没有没有，你这种思路没错。那么……我想让你用通项来表示你所说的‘振动’。”她说。

“通项……也就是说用 n 来表示通项 a _n 就可以了。嗯，如果分情况讨论的话就可以立刻得出结论。”

$a_n=\left{\begin{aligned}1\qquad&(n=0,4,8,\cdots,4k,\cdots)\\0\qquad&(n=1,3,5,7,\cdots,2k+1,\cdots)\\-1\quad&(n=2,6,10,\cdots,4k+2,\cdots)\end{aligned}$

“嗯，的确不能算你错。但是从形式上来看，看不出数列的振动。”这时，米尔嘉闭上眼睛，食指正不停地比划着什么。

“那这次你再看看这道题。这道题的通项又是什么呢？”她睁开眼问我。

问题3-2

将以下数列的通项 b _n 用 n 来表示。

n	0	1	2	3	4	5	6	7	...
b _n	1	i	-1	-i	1	i	-1	-i	...

“i是 $\sqrt{-1}$ ？”我问。

“除了表示虚数单位以外，还会有什么呢？”她说。

“没有了吧。——先暂且不谈这些。这个数列 b _n 中，如果 n 为偶数，则 b _n 为 +1或者 -1；如果 n 为奇数，则 b _n 为 +i或者 -i。这个数列也像是在振动吧？”我说。

“这也没有错。你把这个数列也看成振动数列了吧？”她说。

“你是说除了这种解法还有其他方法吗？”我问道。

米尔嘉眨了眨眼后回答我：“考虑下 复数平面 吧。所谓复数平面，也就是以 x 轴为实数轴， y 轴为虚数轴而组成的坐标平面。这样做的话，所有的复数就都可以表示为平面上的一个点了。”

如果将问题3-2的数列 b _n 想象成复数的数列，那么1就是1 + 0i, i就是0 + 1i ……

1 + 0i, 0 + 1i, -1 + 0i, 0 - 1i, 1 + 0i, 0 + 1i, -1 + 0i, 0 - 1i, ...

我们将数列 b _n 中的数字看作复数平面上的各点，然后再将其画在坐标轴上。

(1, 0), (0, 1), (-1, 0), (0, -1), (1, 0), (0, 1), (-1, 0), (0, -1), ...

“哈哈，原来如此。是菱形，或者说正方形的顶点吧。”我一边说一边在图上画辅助线。

“嗯，你将这个数列理解成这样的图形了呀。确实也没有错。”

“除了正方形之外还可能有别的什么图形啊？”我问道。

“想不到你还真是个死脑筋啊。如果这样画会怎么样呢？”米尔嘉问道。

“还可能是圆啊 !”我惊叹道。

“是啊，还可能是圆。一个半径为1的圆，也就是 单位圆 。复数平面上，以原点为中心的单位圆。复数的数列可以看作是单位圆上点的集合。”她说。

“是单位圆……”我重复着。

“一般来说，单位圆上的点都可以用以下式子表示出来。”

$\cos\theta+\text{i}\sin\theta$

“嗯？ θ 是什么？——啊，我知道了， θ 是单位矢量（1, 0）所转的角度啊。”我恍然大悟。

“嗯，对，我们把 θ 称为偏角。复数和点的对应关系是这样的。”米尔嘉说。

“问题3-2的数列 b _n 可以看作是将正方形，哦，不对，是圆周4等分的等分点。这4个等分点该用怎样的复数来表示呢？”米尔嘉看着我问道。

“将 θ 增加90度……也就是说将 θ 逐步增加 $\frac{\pi}{2}$ 个弧度就可以了，那么偏角 θ 就是 $0,\frac{\pi}{2},\pi,\frac{3\pi}{2},\cdots$ 。以下4个复数就是圆周的4等分点。”我回答道。

$\begin{aligned}&\cos0\cdot\frac{\pi}{2}+\text{i}\sin0\cdot\frac{\pi}{2}\\&\cos1\cdot\frac{\pi}{2}+\text{i}\sin1\cdot\frac{\pi}{2}\\&\cos2\cdot\frac{\pi}{2}+\text{i}\sin2\cdot\frac{\pi}{2}\\&\cos3\cdot\frac{\pi}{2}+\text{i}\sin3\cdot\frac{\pi}{2}\end{aligned}$

“嗯，这样的话，数列的通项 b _n 就可以表示为以下形式。”米尔嘉说。

解答3-2

$b_n=\cos n\cdot\frac{\pi}{2}+\text{i}\sin n\cdot\frac{\pi}{2}\qquad(n=0,1,2,3,\cdots)$

“我们再回到问题3-1。”米尔嘉说。

$\langle a_n\rangle=\langle1,0,-1,0,1,0,-1,0,\cdots\rangle$

“你刚才把 a _n 中的1, 0, -1说成是‘振动’了吧。那道题其实也可以像问题3-2这样来考虑。”

解答3-1

$a_n=\cos n\cdot\frac{\pi}{2}\qquad(n=0,1,2,3,\cdots)$

“为什么呀？”我问道。

“我们把它放到图形上考虑。我们将刚才所说的4等分点 b _n 投射到 x 轴上考虑。这样就产生了振动现象。也就是说，‘振动是旋转的射影’。”她说。

“我们可以从多个角度来看数列 a _n ，既可以将它看作‘单纯的整数排列’，也可以将它看作‘实数数轴上点的来回振动’，甚至还可以将它看作‘在复数平面上点的旋转’。如果你发现自己所看到的数字只是一元一次的点的射影，那么就应该再想到还可能有一元二次的圆的结构。但是一般来说，能看透藏在射影背后的图形结构还是很难的。”她说。

我无语。

“从整数联想到实数数轴，再从实数数轴联想到复数平面，然后再联想到高次方的世界。最后，表达式就变得简单了。表达式变简单了，就说明做题人有了更为透彻的‘领悟’。告诉你数列中的一部分数字，然后让你思考接下去的数字是什么，这种题只能算是智力小测验。而通过探寻通项才能看透藏在背后的结构。”她补充道。

我哑口无言。

“所以‘眼睛’是必不可少的。但我可不是指脸上的器官哦。”米尔嘉说着，指了指自己的眼球，“我指的是能够看透结构的眼力，这是很重要的”。