数学女孩最新章节_结城浩著

3.1 图书室

夏天到了。

期末考试结束那天，在空落落的图书室里，我正琢磨着数学公式，这时米尔嘉走了进来。她径直走到了我身边。

“在做关于向量的题？”她站在那里看了看我的练习本说。

“嗯。”我回答道。

米尔嘉的眼镜是镶了金边的，镜片泛着淡淡的蓝光。我透过镜片看到了她那双藏在镜片后的眼睛。

“只要考虑坐标轴上的单位矢量转向哪里，就能立刻得解。没必要去刻意记住什么吧。”米尔嘉看着我说。米尔嘉说话方式很直白，有点奇怪。

“没关系。因为我只是在练习。”

“你如果喜欢琢磨数学公式的话，将角 θ 转动两次试试看，很有意思哦。”米尔嘉坐到我旁边的位子上，嘴凑到我耳边，轻声说道。她说字母 θ 时，读的是英语theta。她在发th这个音时，舌头夹在牙齿缝之间发出的摩擦音弄得我耳朵痒痒的。

“将角 θ 转两次，然后再展开式子。而转两次 θ 角，就相当于转了2 θ 角。这样就有了两个等式，关于 θ 的恒等式。”我说。

米尔嘉拿过我手中的铅笔，在练习本的右端写了两个式子。米尔嘉的手碰到了我的手。

$\begin{aligned}\cos2\theta&=\cos^2\theta-\sin^2\theta\\\sin2\theta&=2\sin\theta\cos\theta\end{aligned}$

“看，这是什么？”她问道。

我边看练习本上的式子，边在心中回答，“这是倍角公式”。但是，我没出声。

“你不知道吗？这是倍角公式啊。”她说。

米尔嘉微微起了起身，从她身上传来一股淡淡的柑橘香。她不等我回答就以一种授课的语气继续说了下去。算了，这种事也是见怪不怪了。

“角 θ 的旋转可以用下面这个矩阵来表示。”米尔嘉说。

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角 θ 的旋转可以用下面这个矩阵来表示。

$\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}$

“角 θ 连续转两次”就相当于将这个矩阵平方。

$\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}^2=\begin{pmatrix}\cos^2\theta-\sin^2\theta&-2\sin\theta\cos\theta\\2\sin\theta\cos\theta&\cos^2\theta-\sin^2\theta\end{pmatrix}$

对了，“角 θ 连续转两次”也可以看作是“旋转2 θ 角”。所以上述矩阵和以下矩阵是相等的。

$\begin{pmatrix}\cos2\theta&-\sin2\theta\\\sin2\theta&\cos2\theta\end{pmatrix}$

这里我们来比较一下这个矩阵中的同类项，可以推导出以下两个等式。

$\begin{aligned}\cos2\theta&=\cos^2\theta-\sin^2\theta\\\sin2\theta&=2\sin\theta\cos\theta\end{aligned}$

也就是说，将cos 2 θ 和sin 2 θ 用cos θ 和sin θ 来表示。用含 θ 的式子来代替含2 θ 的式子就是 倍角公式 。用矩阵来表示旋转，将其意思重新解释，就能推导出倍角公式。

“旋转2 θ 角”和“角 θ 连续转两次”两者之间可以画等号。我发现其实这两者表示同一个意思，于是，接下来的解答是如此美好。

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我一边听着米尔嘉说，一边在想着其他的事情。一个是聪明的女孩，一个是可爱的女孩。如果这两个女孩是同一个人的话，接下来的事情将是多么美好啊。

但是，我什么都没说，只是默默地听着米尔嘉的话。