1.3　嵌套函数

现在来介绍一个概念，该概念将成为理解神经网络的基础：函数可以被“嵌套”，从而形成“复合”函数。“嵌套”到底是什么意思呢？假设有两个函数，按照数学惯例，它们分别为 和 ，其中一个函数的输出将成为另一个函数的输入，这样就可以“把它们串在一起”。

数学

嵌套函数在数学上表示为：

这不太直观，因为有个奇怪的地方：嵌套函数是“从外而内”读取的，而而运算实际上是“从内而外”执行的。例如，尽管 读作“ 接受 接受 对象而产生对象 ”，但其真正含义是“首先将 应用于 ，然后将 应用于该结果，最终得到对象 ”。

示意图

要表示嵌套函数，最直观的方法是使用小型工厂表示法，又称盒子表示法。

如图 1-6 所示，输入进入第一个函数，转换之后进行输出。然后，这个输出进入第二个函数并再次转换，得到最终输出。

代码

前面已经介绍了两个维度，接下来从代码维度来认识嵌套函数。首先，为嵌套函数定义一个数据类型：

from typing import List

# 函数接受一个ndarray作为参数并生成一个ndarray
Array_Function = Callable[[ndarray], ndarray]

# 链是一个函数列表
Chain = List[Array_Function]

然后，定义数据如何经过特定长度的链，以长度等于 2 为例，代码如下所示。

def chain_length_2(chain: Chain,
                   a: ndarray) -> ndarray:
    '''
    在一行代码中计算“链”中的两个函数。
    '''
    assert len(chain) == 2, \
    "Length of input 'chain' should be 2"

    f1 = chain[0]
    f2 = chain[1]

    return f2(f1(x))

另一种示意图

使用盒子表示法描述嵌套函数表明，该复合函数实际上就只是一个函数。因此，可以将该函数简单地表示为 ，如图 1-7 所示。

此外，在微积分中有一个定理，那就是由“基本可微”的函数组成的复合函数本身就是基本可微的！因此，可以将 视为另一个可计算导数的函数。计算复合函数的导数对于训练深度学习模型至关重要。

但是，现在需要一个公式，以便根据各个组成函数的导数来计算此复合函数的导数。这就是接下来要介绍的内容。 wUXBBgTMPfbiMhIQLSll1ezMlLZf42JZ4ILK2paNN2nL3GFcGNj42liChDpRfIkF