1.3 一般物体的平衡条件

受任意的（共点的）平面力系作用的物体，平衡条件为

这三个方程组成平面任意力系的平衡方程式。值得注意的是，所有力对于某一点的力矩代数和为零时，则对任一点的力矩代数和也等于零。因此，上述方程组中只能有一个力矩平衡方程。当然，平衡方程组也可用两个力矩平衡方程来表示。即

其中，直线AB不能与x轴垂直。

用三个力矩平衡方程表示物体的平衡条件时，要注意选做转轴的三点A、B、C不能在同一直线上。对于空间力系，一般可列出六个独立平衡方程，即所有力在任意x轴上投影的代数和为零（三个方程），所有力对任意x轴力矩的代数和为零（三个方程）。

典型例题

例1 如图1.28（a）所示，一个质量分布均匀的直杆搁置在质量分布均匀的圆环上，杆与圆环相切，系统静止在水平地面上，杆与地面接触点为A，与环面接触点为B。已知两个物体的质量线密度均为ρ，直杆与地面夹角为θ，圆环半径为R，所有接触点的摩擦力足够大。求：

（1）地面给圆环的摩擦力；

（2）A、B两点静摩擦因数的取值范围。

解 （1）圆环受力分析如图1.28（b）所示。

水平方向合力为零，则

f ₂ +f ₁ cosθ=N ₁ sinθ

以圆心为轴有

f ₂ R=f ₁ R

圆环以A点为轴有

N ₂ l=m ₂ gl+N ₁ l

整体以A点为轴有

解得

（2）B处静摩擦因数

A处静摩擦因数

例2如图1.29所示的正方形轻质刚性水平桌面由四条完全相同的轻质细桌腿1、2、3、4支撑于桌角A、B、C、D处，桌腿竖直立在水平粗糙刚性地面上。已知桌腿受力后将产生弹性微小形变。现于桌面中心点O至角A的连线OA上某点P施加一竖直向下的力 F，令 ，求桌面对桌腿 1 的压力 F ₁ 。

解 设桌面对四条腿的作用力皆为压力，分别为F ₁ 、F ₂ 、F ₃ 、F ₄ 。因轻质刚性的桌面处于平衡状态，可推得

由于对称性，可知

考察对桌面对角线BD的力矩，由力矩平衡条件可得

根据题意，O≤c≤1，c=0对应于力F的作用点在O点，c=1对应于F作用点在A点。

设桌腿的劲度系数为k，在力F的作用下，腿1的形变为F ₁ /k，腿2和4的形变均为F ₂ /k，腿3的形变为F ₃ /k。依题意，桌面上四个角在同一平面上，因此满足

即

由①、②、③、④式，可得

当 时，F ₃ ≤0。F ₃ =0，表示腿3无形变；F ₃ <0，表示腿3受到桌面的作用力为拉力，这是不可能的，故应视F ₃ =0。此时②、③式仍成立。

由③式可得

F ₁ =cF

综合以上讨论得

例3 如图1.30（a）所示，匀质圆柱体夹在木板和竖直墙之间，其质量为m，半径为R，与墙和木板间的动摩擦因数均为μ。板很轻，其质量可以忽略。板的一端O与墙用光滑铰链相连，另一端A挂有质量为m′的重物，OA长为L，板与竖直墙夹θ角，θ=53°。试问：m′至少需要多大才能使系统保持平衡？并对结果进行讨论。

解 圆柱体受力如图1.30（b）所示，取圆柱体中心为转轴，则

又因合力为零，有

取f ₁ 和f ₂ 的交点为转轴，则

即

显然N ₁ >N ₂ ，这说明平衡打破时，圆柱体与木板先滑动，当m′最小时，对应有

④式代入②式有

对木板，取O为转轴有

m’gL cosθ=N ₂ Rcot

故m的最小值满足

m’=

θ=53°时，有

m’=

讨论：要求m′>0，即μ>0.5。若μ<0.5，则无论m′多大，系统都不能平衡。

巩固提升

1.质量为m、长为L的三根相同的匀质细棒对称地搁在地面上，三棒的顶点O重合（不拴接），底端A、B、C的间距均为L，如图1.31所示。求：

（1）求A棒顶端O所受的作用力F的大小；

（2）若有一质量也为m的人（视为质点）坐在A棒的中点处，三棒仍保持不动，这时A棒顶端所受作用力F的大小又为多大？

（3）在上一问的情况下，棒与地面间的静摩擦因数μ至少为多大？

2.质量为m的立方体ABCD放在粗糙的水平面上，在左上棱A处施加力F，使立方体向前或向后翻转，如图1.32所示。现要求立方体不与水平面发生相对滑动，求向前和向后施力的最小值以及相应的摩擦因数μ。

3.如图1.33所示，质量为m、长度为L的均匀细直杆竖直放置。杆的下端与地面之间的动摩擦因数为μ，其上端用绳索拉住，绳与细杆之间的夹角为θ。在离地面高度为h处以水平力F作用于直杆，试问：为使直杆不滑倒，作用力F的最大值应为多少？（最大静摩擦力等于滑动摩擦力）

4.一块均匀分布的长方形板，沿中线折成直角，放置在水平固定的半径为R的圆柱体上，如图1.34所示。问：圆柱体和板之间的静摩擦因数需要多大，才能使板子不滑开？

5.直径各为d和D的两个圆柱，置于同一水平的粗糙平面上，如图1.35所示。在大圆柱上绕一绳子，作用在绳端的水平拉力为F。设所有接触点的静摩擦因数均为μ，试求大圆柱能翻过小圆柱时，μ值必须满足的条件。