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1.2 力矩、定轴转动物体的平衡条件
力使物体转动的效应，决定于力矩，通常只讲力对转动轴的力矩。如果力的作用线在与转轴垂直的平面内，力臂就是转轴到力作用线的距离，力矩的大小等于力和力臂的乘积，如图1.13所示；如果力的作用线和转轴平行，力矩的大小等于零；如果力F既不在垂直于转轴的平面内，又不平行于转轴，则可以将力F分解，其中一个分力F 1 的方向和转轴平行，它对转轴的力矩为零；另个分力F 2 在与转轴垂直的平面内，它对转轴MN的力矩等于力臂L和F 2 的乘积，这个力矩也是力F对转轴的力矩。而F对定点O的力矩更一般的表示则写成 M = r × F ， r 为力的作用点相对给定点O的位矢， M 表示力 F 对给定点O的力矩， M 的方向由右手螺旋定则确定。通常规定：使物体围绕转动轴逆时针方向转动的力矩为正值，顺时针方向转动的力矩为负值。其大小可以用标量形式表示出来： M =rFsinθ，θ为 r、F 的夹角。在后面的内容里，对力矩的表述时，用标量的形式写出其大小，对其方向只从顺时针、逆时针的角度来进行描述。
图 1.13
对于某一固定轴而言，n个力产生的合力矩有两种算法。合力矩等于n个力力矩的代数和或者等于n个力的合力相对于固定轴的力矩。
作用于物体上所有力对固定轴的力矩等于零，即
图 1.14
作用在物体上的大小相等、方向相反、作用线平行的两个力组成一对力偶。力偶相对于特定转轴产生的力矩叫力偶矩，其大小等于力与力偶臂的乘积，力偶臂为两个力的作用线之间的距离。力偶矩的大小与转动轴选取的位置无关，其正负亦由它使物体转动的方向来确定：逆时针为正，顺时针为负。如图1.14所示，物体的转动轴为过O点垂直于纸面的直线，物体受力偶（F 1 ，F 2 ）的作用。因F 1 =F 2 =F，力偶对物体的转动作用可由F 1 、F 2 对转轴的力矩求和可得：M=-（F 1 L 1 +F 2 L 2 ）=-FL。式中，-FL为力偶（F 1 ，F 2 ）产生的力偶矩，力偶与转轴O点的位置无关，“-”表示是顺时针方向转动的力偶矩。
力偶是一对大小相等的力，不会使物体产生平动加速度， 故力偶对物体只有转动作用 ，一对力偶产生的效应只能由另一对力偶来平衡。
例1 如图1.15（a）所示，质量分布均匀的细杆靠在光滑的竖直墙壁A上。已知细杆长为L、所受重力为mg，其与地面的摩擦系数足够大。当细杆在竖直平面内保持静止时，它与水平方向的夹角为θ，求墙壁A对细杆产生作用力。
解 如图1.15（b）所示，对细杆进行受力分析可知，细杆受到的四个力必须能使细杆保持质点的受力平衡：墙壁A的支持力N A 和地面B的静摩擦力f、细杆自身的重力mg和地面的支持力N B 必须为两对力偶。
图 1.15
所以
N A =f，mg=N B
则题目的关键是分析N A 或f。
细杆也必须同时满足任意点为轴的力矩平衡，为计算方便，选取细杆与地面的接触点B为转轴，有
则
例2 如图1.16（a）所示，质量为M的均匀圆板边缘固定一个质量为m的小重物，重物大小可以忽略。将圆板放在倾角为α的斜面上，当m与圆心O点的连线与竖直线夹角为θ时，圆板恰好静止，求sinθ的值。假设圆板与斜面间的摩擦因数足够大。
解 圆板和小重物构成了一个系统，对该系统受力分析可知，系统的所受的外力共有四个：圆板和小重物受到的重力Mg和mg，斜面对圆板产生的支持力N和静摩擦力f，如图1.16（b）所示。由于所受力中只有Mg和mg为已知的力，选择圆板与斜面的接触点P为转轴，根据力矩平衡有
MgRsinα=mgR（sinθ-sinα）
图 1.16
解得
sinθ=
sin α
由此也可以看出，选择点P为转轴可以避免求解力N和f。
例3 结构均匀的梯子AB靠在光滑竖直墙壁上，已知梯子长为L、重为mg与地面的动摩擦因数为μ，如图1.17（a）所示。地面和梯子间的最大静摩擦力可认为等于滑动摩擦力。
（1）求梯子不滑动时，梯子与水平地面夹角θ的最小值θ 0 ；
（2）当θ=θ 0 时，一重为mg的人沿梯子缓慢向上攀登，问人到达什么位置时梯子开始滑动？
图 1.17
解 （1）梯子与水平地面夹角θ的最小值θ 0 对应B处所受的静摩擦力最大，此时杆的受力如图1.17（b）所示。细杆受到的四个力必须能使细杆保持质点的受力平衡：墙壁A的支持力N A 和地面B的静摩擦力f、梯子自身的重力mg和地面的支持力N B 必须为两对力偶，则
N A =f，mg=N B
因为要分析摩擦力，选取点A为转轴，有
解得
θ 0 =arccot（2μ）
（2）进入向上攀登到距离A点x处时梯子开始滑动，仍取点A为转轴，则
而力偶平衡变成
N B =2mg
f=μN
联立解得
x=
例4两个质量分布均匀的相同小球A和B，半径为r，重为P，置于两端开口的圆筒内，圆筒半径为R，且r<R<2r，并竖直放在水平面上，如图1.18（a）所示。设所有接触面均光滑，为使圆筒不至于倾倒，圆筒的最小重量Q为多少？如果换成有底的圆筒，情况又如何？
图1.18
解 对圆筒进行受力分析可知，圆筒受到力有：两个小球产生的弹力N A 和N B ，自身受到的重力作用Q，以及地面在接触点H上产生的支持力N H ，如图1.18（b）所示。需要指出的是，N A 和N B 是一对力偶；圆筒恰好平衡，有倾倒的趋势，故与地面的支持力作用只出现在点H上，N H 和Q也是一对力偶。
为计算方便，将转轴选在H点上，圆筒的力矩平衡
Q·R=N
A
·
分析小球A的受力，由共点力平衡可得
N
A
=P·cotθ=p·
联立求解，得
Q=
·p
如果筒有底，则底部会受到两个小球产生的压力，圆筒不会倾倒。
1.质量为m、长为L的均匀杆AB由系于杆两端的长也为L的两细线悬挂于O点，如图1.19所示。在B点悬挂质量为m的重物，求平衡时杆与水平方向的夹角θ。
图 1.19
2.如图1.20所示，重物G挂在均匀硬棒上，离光滑转轴O为L，硬棒单位长度的质量为m，为使棒保持静止，问：该棒长度为多少时，可使加于其左端的竖直向上的托力F最小？
图 1.20
图 1.21
3.如图1.21所示，人字形金属杆的臂长相等且质量分布均匀，两臂间的夹角可以改变。用一光滑铰链悬挂一个臂的端点L，为使金属杆的顶点A（即两臂连接处）位置最高，求金属杆两臂张开的角度为多大？
4.如图1.22所示，一根重为G的均匀硬杆AB，杆的A端被细绳吊起，在杆的另一端B作用一水平力F把杆拉向右边。整个系统平衡后，细绳、杆与竖直方向的夹角分别为α、β。求证：tanβ=2tanα。
图 1.22
5.半径为R的匀质半球体置于水平面上，其重心在球心O正下方C点处，OC=3R/8，半球质量为m且在半球的平面上放一质量为m/8的物体，它与半球平面间的动摩擦系数为0.2，如图1.23所示，则物体刚要滑动时离球心的最大距离为___。（假定最大静摩擦力等于滑动摩擦力）
图 1.23
图 1.24
6.如图1.24所示，匀质管子AB长为L、重为G，其A端放在水平面上，点C靠在高为h的光滑铅直支座上，h=L/2。设管子与水平面成倾角θ=45°时能够保持平衡状态，求管子与水平地面之间的动摩擦因数值至少为多大？
7.有一块均匀木板AC长为L 1 ，重为G 1 ，A端用铰链固定在地面上。先用长为L 2 、重为G 2 的撬棒BD把木板AC支起达平衡位置，如图1.25所示。假定木板与撬棒的接触是光滑的，地面足够粗糙，图中α=30°，β=60°，且L 1 ∶L 2 =2∶3，问作用于撬棒端点D的外力F至少为多大？
图 1.25
8.质量为80kg的人沿如图1.26所示的梯子从底部向上攀登，梯子质量为25kg，顶角为30°，已知AC和CE都为5m长且用铰链在C点处相连，BD为一段轻绳，两端固定在梯子高度一半处。设梯子与地面的摩擦可以忽略，求在人向上攀登的过程中轻绳中张力的变化规律。
9.如图1.27所示，轻杆AB、BC由铰链相连，并通过铰链固定在竖直墙壁上，构成一直角支架。一个质量为m的物体，从最高处由静止开始沿AB杆无摩擦地滑下，求作用于AB杆的B端的作用力随时间的变化关系（物体到达B端之前）。
图 1.26
图 1.27